Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形△AOB，點(diǎn)C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞2），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形△CBD連接DA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E．

（1）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OBC和△ABD全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出∠CAD的度數(shù)；如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）探究當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）△OBC和△ABD全等，理由見(jiàn)解析，（2）不會(huì)發(fā)生變化，60°，（3）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形

【解析】

（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，則∠OBC＝∠ABD，然后可根據(jù)“SAS”可判定△OBC≌△ABD；

（2）由△AOB是等邊三角形知∠BOA＝∠OAB＝60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD＝∠BOC＝60°，根據(jù)∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得結(jié)論；

（3）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，求得∠EAC＝120°，進(jìn)而得出以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，最后根據(jù)Rt△AOE中，OA＝2，∠OEA＝30°，求得AC＝AE＝4，據(jù)此得到OC＝6，即可得出點(diǎn)C的位置．

（1）△OBC和△ABD全等，理由是：

∵△AOB，△CBD都是等邊三角形，

∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，

∴∠OBC＝∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

∵，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；

（2）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：

∵△AOB是等邊三角形，

∴∠BOA＝∠OAB＝60°，

∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD＝∠BOC＝60°，

∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；

（3）∵△OBC≌△ABD，

∴∠BOC＝∠BAD＝60°，

又∵∠OAB＝60°，

∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，

∴以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，AE和AC是腰，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），

∴OA＝2，

在Rt△AOE中，∠OEA＝30°，

∴AE＝4，

∴AC＝AE＝4，

∴OC＝2+4＝6，

∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）時(shí)，以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．