Question

已知：如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，點E在線段DC上，EF∥AB交邊AC于點F，EG∥AC交邊AB于點G，F(xiàn)E的延長線與AD的延長線交于點H．
求證：GF=BH．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：先延長AD至A′，使DA′=AD，連接A′B，A′C，得出A′C∥AB，A′C=AB，再證出HF∥A′C，得出

HF

A′C

=

AF

AC

，再根據平行線分線段成比例定理得出

EG

A′C

=

BH

BA

，HF∥BG且GF=BH，從而證出四邊形BGFH為平行四邊形，即可得出答案．

解答：證明：延長AD至A′，使DA′=AD，連接A′B，A′C，
∵BD=CD，
∴四邊形ABA′C為平行四邊形，
∴A′C∥AB，A′C=AB，
∵HF∥A′C，
∴

HF

A′C

=

AF

AC

，
又∵HF∥AB，EG∥AC，
∴

AF

AC

=

BE

BC

，

BE

BC

=

BG

AB

，
∴

HF

A′C

=

BG

AB

，
∵A′C=AB，
∴HF=BG，
∴BG∥HF且BG=HF，
∴四邊形BGFH為平行四邊形，
∴GF=BH．

點評：點評：此題考查了平行線分線段成比例定理，用到的知識點是平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定與性質，關鍵是根據題意作出輔助線，構造平行四邊形．