Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，連結CO并延長交⊙O的切線AP于點P．
（1）求證：∠APC=∠BCP；
（2）若sin∠APC=

3

5

，BC=4，求AP的長．

Answer 1

考點：切線的性質,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）連結AO并延長交BC于D、

BC

于E，利用切線的性質和垂徑定理即可證明AP∥BC，進而可證明：∠APC=∠BCP；
（2）設OA=3k，OP=5k，則OC=OA=3k，因為BC∥AP，所以△PAO∽△CDO，根據相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可求出AP的長．

解答：（1）證明：連結AO并延長交BC于D、

BC

于E，
∵AP切⊙O于點A，
∴AP⊥AE，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AE⊥BC，
∴AP∥BC，
∴∠APC=∠BCP，
（2）解：∵AE⊥BC，
∴CD=

1

2

BC=2，
∵sin∠APC=

AO

PO

=

3

5

，
∴設OA=3k，OP=5k，則OC=OA=3k，
∵BC∥AP，
∴△PAO∽△CDO，
∴

PA

CD

=

PO

CO

，
∴

PA

2

=

5k

3k

，
∴PA=

10

3

．

點評：本題利用了垂徑定理的推論、切線的性質、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數，題目的難度中等，是常見中考題型．