【題目】如圖,頂點為A,1)的拋物線經(jīng)過坐標原點O,與x軸交于點B

(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式;

(2)過BOA的平行線交y軸于點C,交拋物線于點D,求證:△OCD≌△OAB;

(3)在x軸上找一點P,使得△PCD的周長最小,求出P點的坐標.

【答案】1y=x2+x;(2見解析;(3)點P的坐標為(﹣,0

【解析】試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式,(2)先求出直線OA對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為y=x.再求出直線BD的表達式為y=x2.最后求出交點坐標CD即可;

3)先判斷出C'Dx軸的交點即為點P,它使得△PCD的周長最小.作輔助線判斷出△C'PO∽△C'DQ即可.

試題解析:(1∵拋物線頂點為A,1),設(shè)拋物線解析式為y=ax2+1,將原點坐標(0,0)在拋物線上,0=a2+1

a=,∴拋物線的表達式為y=x2+x

2)令y=0, 0=x2+xx=0(舍),x=2

B點坐標為:(2,0),設(shè)直線OA的表達式為y=kxA,1)在直線OA,k=1k=,∴直線OA對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為y=x

BDAO,設(shè)直線BD對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為y=x+bB20)在直線BD,0=×2+bb=2,∴直線BD的表達式為y=x2

得交點D的坐標為(﹣,3),x=0y=2,C點的坐標為(02),由勾股定理,OA=2=OC,AB=2=CD,OB=2=OD

在△OAB與△OCD ,∴△OAB≌△OCD

3)點C關(guān)于x軸的對稱點C'的坐標為(0,2),C'Dx軸的交點即為點P,它使得△PCD的周長最小.

過點DDQy,垂足為QPODQ,∴△C'PO∽△C'DQ,,PO=∴點P的坐標為(﹣,0).

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②當n≤x≤1時,函數(shù)值y的取值范圍是-6≤y≤4-n,求n的值;

③將此二次函數(shù)圖象平移,使平移后的圖象經(jīng)過原點O.設(shè)平移后的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=a(x-h(huán))2 +k,當x<2時,y隨x的增大而減小,求k的取值范圍.

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