Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．
（1）求A、B兩點的坐標及直線AC的函數表達式；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求三角形ACE面積的最大值；
（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）因為拋物線與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標．再根據C點在拋物線上，C點的橫坐標為2，代入拋物線中即可得出C點的坐標．再根據兩點式方程即可解出AC的函數表達式；
（2）根據P點在AC上可設出P點的坐標．E點坐標可根據已知的拋物線求得．因為PE都在垂直于x軸的直線上，所以兩點之間的距離為y_p-y_E，列出方程后結合二次函數的性質即可得出答案；
（3）此題要分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質求出F點的坐標．

解答：解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
將C點的橫坐標x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直線AC的函數解析式是y=-x-1；

（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），
E（x，x²-2x-3），
∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，
∴當x=

1

2

時，PE的最大值=

9

4

，

（3）存在4個這樣的點F，分別是F₁（1，0），F₂（-3，0），F₃（4+

7

，0），F₄（4-

7

，0），

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標是（-3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標為（-1，0），因此F點的坐標為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點關于原點對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為（1+

7

，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+

7

，因此直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+

7

，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標為（4-

7

，0）．
總之，符合條件的F點共有4個．

點評：本題是二次函數和一次函數以及平行四邊形個的判定的綜合應用，重點考查了數形結合以及分類討論的思想方法．