Question

已知a、b、c分別是△ABC的三邊的長(zhǎng)，且滿(mǎn)足a²+b²+c²-ab-ca-bc=0．
求證：△ABC是等邊三角形．
（提示：通過(guò)代數(shù)式變形和配成完全平方后來(lái)證明）

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：a²+b²+c²-ab-bc-ca=0整理得（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得三邊相等，所以這是一個(gè)等邊三角形．

解答：證明：∵a²+b²+c²-ab-bc-ca
=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca）
=

1

2

[（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（c²-2ca+a²）]
=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，
又∵a²+b²+c²-ab-bc-ac=0，
∴

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]=0，
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，（a-b）²=0，（b-c）²=0，（c-a）²=0，
可知a=b=c，
故這個(gè)三角形是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等邊三角形的判定的運(yùn)用，還涉及配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．