Question

【題目】已知：正方形OABC的邊OC、OA分別在x、y軸的正半軸上，設(shè)點(diǎn)B（4，4），點(diǎn)P（t，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，直線OH交直線BC于點(diǎn)D，連AD．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，求證：OP＝CD；

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求t的值；

（3）如圖2，拋物線y＝﹣x2+x+4上是否存在點(diǎn)Q，使得以P、D、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 綜上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)見解析.

【解析】

（1）證，可以證明它們所在的三角形全等，即證明：；已知的條件有：，，只需再找出一組對(duì)應(yīng)角相等即可，通過圖示可以發(fā)現(xiàn)、是同角的余角，這兩個(gè)角相等，那么證明三角形全等的全部條件都已得出，則結(jié)論可證；

（2）點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，那么就需分三種情況討論：

①點(diǎn)在軸負(fù)半軸上；可以延續(xù)（1）的解題思路，先證明、全等，那么得到的條件是，然后用表示、的長(zhǎng)，再根據(jù)給出的相似三角形得到的比例線段，列等式求出此時(shí)的值，要注意的正負(fù)值的判斷；

②點(diǎn)在線段上時(shí)；由于、都小于等于正方形的邊長(zhǎng)（即、），所以只有時(shí)，給出的兩個(gè)三角形才有可能相似（此時(shí)是全等），可據(jù)此求出的值；

③點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)；方法同①；

（3）這道題要分兩種情況討論：

①線段為平行四邊形的對(duì)角線，那么點(diǎn)、關(guān)于的中點(diǎn)對(duì)稱即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，而，即、的橫坐標(biāo)相同，那么先用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中，即可確定的值；

②線段為平行四邊形的邊；先用表示出的長(zhǎng)，把點(diǎn)向左或向右平移長(zhǎng)個(gè)單位就能表達(dá)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式后即可得到的值.

（1）證明：∵OD⊥AH，

∴∠OAP＝∠DOC＝90°﹣∠AOD；

正方形OABC中，OA＝OC＝4，∠AOP＝∠OCD＝90°，即：

∵，

∴△AOP≌△OCD

∴OP＝CD．

（2）解：①點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，P（t，0），且t＜0，如圖①；

∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，

∴∠POH＝∠PAO＝90°﹣∠APO；

又∵∠POH＝∠COD，

∴∠COD＝∠PAO；

在△AOP與△OCD中，

∵，

∴△AOP≌△OCD；

∴OP＝CD＝﹣t，則：BD＝BC+CD＝4﹣t；

若△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則有：

，得：，

解得：或（正值舍去）；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，P（t，0），0＜t≤4，如圖②；

因?yàn)镺P＜OA、BD＜AB、OA＝AB，

若△AOP與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，那么有：，所以O(shè)P＝BD，即：

t＝4﹣t，t＝2；

③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，P（t，0），t＞4，如圖③；

同①可求得；

綜上，t1＝2，，．

（3）解：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q，分兩種情況討論：

①PC為平行四邊形的對(duì)角線，則QP∥CD，且QP＝CD；

若P（t，0）、D（4，t），則Q（t，﹣t），代入拋物線中，得：

，即：t2﹣10t﹣24＝0，

解得：t1＝﹣2，t2＝12；

②PC為平行四邊形的邊，則DQ∥PC，且QD＝PC；

若P（t，0）、D（4，t），則 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）；

Q（t，t）時(shí)，，即：t2+2t﹣24＝0，

解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6；

Q（8﹣t，t）時(shí)，，即：t2﹣6t+8＝0，

解得 t1＝4（舍）、t2＝2．

綜上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2．

∴存在點(diǎn)Q，使得以P、D、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．