Question

如圖，點C是直徑為4的半圓O上的一個動點（與A、B兩點不重合），CD⊥AB于D，點P是線段AC的中點，設(shè)BD=x，DP=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）如果∠B=

1

2

∠A，求BD的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),解一元二次方程-公式法,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接OP，由垂徑定理得到OP與AC垂直，又CD與AB垂直，得到一對直角相等，再由∠A為公共角，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的三角形相似，得到三角形AOP與三角形ACD相似，由相似得比例，再由直角三角形ACD中，P為斜邊AC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AP=PD=y，由直徑為4得到圓的半徑OA=2，且AD=AB-BD=4-x，分別把表示出的各條邊代入得到的比例式中，即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，根據(jù)x表示線段BD故x大于0，且負(fù)數(shù)沒有平方根得到x小于4（D不與A、B重合，故x不等于4），從而得到函數(shù)的定義域；
（2）由∠B=

1

2

∠A得到∠A=2∠B，而AP=PD，根據(jù)等邊對等角得到∠A=∠PDA，故∠PDA=2∠B，又∠PDA為三角形PDB的外角，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠PDA=∠B+∠BPD，等量代換得到∠BPD=∠PBD，根據(jù)等角對等邊得到PD=BD，即y=x，把（1）得到的函數(shù)關(guān)系式中y換為x，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出方程的解即可得到BD的長．

解答：解：（1）連接OP，
∵P是AC的中點，
∴OP⊥AC，又CD⊥AB，
∴∠OPA=∠CDA=90°，又∠OAP=∠CAD，
∴△AOP∽△ACD，
∴

AP

AD

=

AO

AC

，
∵P為AC中點，
∴AP=PC=

1

2

AC，又CD⊥AD，即△ADC為直角三角形，
∴DP=

1

2

AC，又AB=4，DP=y，BD=x，
∴AC=2y，AP=y，AO=2，AD=4-x，
∴

y

4-x

=

2

2y

，
∴y=

4-x

（0＜x＜4）；

（2）當(dāng)∠B=

1

2

∠A時，
∵AP=DP，
∴∠A=∠PDA，
∵∠B=

1

2

∠A，即∠A=2∠B，
∴∠PDA=2∠B，又∠PDA為△PDB的外角，
∴∠PDA=∠B+∠BPD，
∴∠B=∠BPD，
∴DP=DB，
即y=x，即x²+x-4=0，
解得：x₁=

-1+ 17

2

，x₂=

-1- 17

2

（舍去），
∴BD=

17 -1

2

．

點評：綜合考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理以及一元二次方程的解法，是一道探究型的題，第一問是探究兩變量之間的關(guān)系，利用垂徑定理添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解本問的關(guān)鍵．