Question

如圖在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，QM在邊BC上．若BC=8cm，AD=6cm，
（1）PN=2PQ，求矩形PQMN的周長(zhǎng)
（2）當(dāng)PN為多少時(shí)矩形PQMN的面積最大，最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由題意可得出PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB，BC=8，AD=6，據(jù)此可得出PQ，PN的值，故可得出矩形PQMN的周長(zhǎng)；
（2）設(shè)長(zhǎng)方形零件PQMN的邊AE=x，矩形PQMN的面積為S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，從而得出二次函數(shù)解析式，根據(jù)解析式及自變量取值范圍求S的最大值．

解答：解：（1）由題意得；PQ：AD=BP：AB，PN：BC=AP：AB
∴

PQ

AD

+

PN

BC

=

BP

AB

+

AP

AB

=

AP+PB

AB

=

AB

AB

=1，
又∵PN=2PQ，BC=8cm，AD=6cm，
∴

PQ

6

+

2PQ

8

=1，
∴PQ=2.4
則PN=4.8，
∴矩形PQMN的周長(zhǎng)=14.4cm；
（2）∵四邊形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，∠PQM=90°，∠QPN=90°，
∴△PAN∽△ABC，
∵AD是高，
∴∠ADB=90°，
∴四邊形PQDE是矩形，∠AEN=90°，
∴

AE

AD

=

PN

BC

，PQ=DE，
設(shè)AE=x，矩形PQMN的面積為S，
則

x

6

=

PN

8

，DE=6-x，
∴PN=

4

3

x，PQ=6-x，
∴S=-

4

3

x²+8x．
∴當(dāng)x=

8

8 3

=3時(shí)，S的最大值為12．，
∴當(dāng)AE=3時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積是12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用二次函數(shù)的方法解決面積問題，是函數(shù)性質(zhì)的實(shí)際運(yùn)用，需要從計(jì)算矩形面積著手，求矩形的長(zhǎng)、寬，同時(shí)考查了拼接問題，需要從圖形的特殊性著手．