Question

課本等腰三角形的軸對稱性一節(jié)，我們最后通過直角三角形紙片折疊發(fā)現(xiàn)了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．

（1）小聰同學(xué)畫出了如圖①所示的一個特殊的直角三角形，其中∠BAC為直角，AD為斜邊BC上的中線，∠B=30°．它證明上面定理思路如下：延長AD至點E，使DE=AD，連結(jié)BE，再證△ABC≌△BAE，你認(rèn)為小聰能否完成證明？__________（只需要填“能”或“不能”）；

（2）小聰同學(xué)還想借助圖②，任意的Rt△ABC為直角，AD為斜邊BC上的中線，證明或推翻結(jié)論AD=BC，請你幫助小聰同學(xué)完成；

（3）如圖③，在△ABC中AD⊥BC，垂足為D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中線AE的長度．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理．

【分析】（1）如圖①所示．由三角形內(nèi)角和定理可求得∠ACB=60°．然后證明△ACD≌△EBD，從而得到∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC，∠ABE=90°然后再證明Rt△ABE≌Rt△BAC，于是得到BC=AE故此BC=2AD；

（2）如圖②所示：延長AD至點E使DE=AD，連結(jié)BE，先證明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，從而可證明∠BAC=∠ABE，然后證明△ABC≌△BAE，從而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD；

（3）根據(jù)勾股定理得：AC²=5，AB²=20，于是可得到AC²+AB²=BC²．于是得到△ABC是直角三角形，根據(jù)結(jié)論可知△ABC的中線AE的長度=BC=．

【解答】解：（1）能．

理由：如圖①所示．

∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，

∴∠ACB=60°．

在△ACD和△EBD中，

∴△ACD≌△EBD．

∴∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC．

∴∠ABE=90°．

在Rt△ABE和Rt△BAC中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BAC．

∴BC=AE．

∴BC=2AD．

∴AD=BC．

（2）證明：如圖②所示：延長AD至點E使DE=AD，連結(jié)BE．

在△ACD和△EBD中，

，

∴△ACD≌△EBD．

∴∠C=∠EBD

∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．

在△ABC和△BAE中，

，

∴△ABC≌△BAE．

∴AE=BC．

∴BC=AE=2AD

∴．

（3）∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°．

∵CD=1，AD=2，BD=4，

∴根據(jù)勾股定理得：AC²==5，AB²==20．

∵AC²=5，AB²=20，BC²=（1+4）²=25，

∴AC²+AB²=BC²．

∴△ABC是直角三角形．

∴△ABC的中線AE的長度=BC=．

【點評】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用、勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，根據(jù)△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解題的關(guān)鍵．