Question

19．對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b），若點P′的坐標為（$a+\frac{k}$，ka+b）（其中k為常數，且k≠0），則稱點P′為點P的“k屬派生點”．
（1）①點P（-2，1）的“2屬派生點”P′的坐標為（-$\frac{3}{2}$，-3）；
②若點P的“k屬派生點”P′的坐標為（4，2），請寫出一個符合條件的點P的坐標（2，1）；
（2）若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為點P′，且△OPP′為等腰直角三角形，則k的值為±1．

Answer 1

分析 （1）①只需把a=-2，b=1，k=2代入（a+$\frac{k}$，ka+b）即可求出P′的坐標．
②由P′（4，2）可求出k=$\frac{1}{2}$，從而有a+2b=4．任取一個a就可求出對應的b，從而得到符合條件的點P的一個坐標．
（2）設點P坐標為（a，0），從而有P′（a，ka），顯然PP′⊥OP，由條件可得OP=PP′，從而求出k．

解答 解：（1）①點P（-2，1）的“2屬派生點”P′的坐標為（-2+$\frac{1}{2}$，-2×2+1），即（-$\frac{3}{2}$，-3），
故答案為：（-$\frac{3}{2}$，-3）；
②由題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{k}=4}\\{ka+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，
∴a+2b=4，
當b=1時，a=2，此時點P的坐標為（2，1），
故答案為：（2，1）；

（2）∵點P在x軸的正半軸上，
∴b=0，a＞0．
∴點P的坐標為（a，0），點P′的坐標為（a，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′為等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案為：±1．

點評 此題考查了坐標與圖形的性質、等腰直角三角形，弄清題中的新定義及等腰直角三角形的定義是解本題的關鍵．