Question

如圖，二次函數(shù)y在y=-

1

2

x²+

5

2

x-2，其圖象坐標(biāo)交于A，B，C點(diǎn)．
（1）在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)三角形DCA面積最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM垂直x軸，垂足為M．設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)1＜m＜4時(shí)，是否存在P點(diǎn)，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）本題需先根據(jù)題意設(shè)出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)和D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再過D作y軸的平行線交AC于E，再由題意可求得直線AC的解析式，即可表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出結(jié)果即可；
（2）首先設(shè)出橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，從而得出PA的解析式，再分2種情況進(jìn)行討論，當(dāng)

AM

PM

=

AO

OC

時(shí)，和

AM

PM

=

OC

OA

時(shí)，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-

1

2

x²+

5

2

x-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
當(dāng)y=0，則0=-

1

2

x²+

5

2

x-2
解得：x₁=1，x₂=4，
當(dāng)x=0，y=2，
故A（4，0），C（0，-2），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
則

4k+b=0 b=-2

，
解得：

k= 1 2 b=-2

，
則直線AC的解析式為：y=

1

2

x-2，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

x²+

5

2

x-2，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

DE•h+

1

2

DE•（4-h）=

1

2

DE•4，
∴S_△DAC=

1

2

（t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大，
∴D（2，1）．

（2）如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-

1

2

x²+

5

2

x-2，
當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM=4-m，PM=-

1

2

x²+

5

2

x-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)

AM

PM

=

AO

OC

，
∵C在拋物線上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴

AM

PM

=

AO

OC

=2，
∴△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2）．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）．
②當(dāng)

AM

PM

=

OC

OA

時(shí)，△APM∽△CAO，即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2．
解得m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去）
∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P（2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．