Question

【題目】已知：如圖（1），如果AB∥CD∥EF. 那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

老師要求學生在完成這道教材上的題目后，嘗試對圖形進行變式，繼續(xù)做拓展探究，看看有什么新發(fā)現(xiàn)？

（1）小華首先完成了對這道題的證明，在證明過程中她用到了平行線的一條性質，小華用到的平行線性質可能是______________.

（2）接下來，小華用《幾何畫板》對圖形進行了變式，她先畫了兩條平行線AB，EF，然后在平行線間畫了一點C，連接AC，EC后，用鼠標拖動點C，分別得到了圖（2）（3）（4），小華發(fā)現(xiàn)圖（3）正是上面題目的原型，于是她由上題的結論猜想到圖（2）和（4）中的∠BAC，∠ACE與∠CEF之間也可能存在著某種數量關系．然后，她利用《幾何畫板》的度量與計算功能，找到了這三個角之間的數量關系.

請你在小華操作探究的基礎上，繼續(xù)完成下面的問題：

①猜想：圖（2）中∠BAC，∠ACE與∠CEF之間的數量關系： .

②補全圖（4），并直接寫出圖中∠BAC，∠ACE與∠CEF之間的數量關系： . （3）小華繼續(xù)探究：如圖（5），若直線AB與直線EF不平行，點G，H分別在直線AB、直線EF上，點C在兩直線外，連接CG，CH，GH，且GH同時平分∠BGC和∠FHC，請?zhí)剿鳌?/span>AGC，∠GCH與∠CHE之間的數量關系？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行，同旁內角互補.（2）①∠ACE=∠BAC+∠FEC.②∠ACE=∠FEC-∠BAC．（3）2∠GCH=∠AGC+∠CHE．

【解析】

（1）根據兩直線平行同旁內角互補即可解決問題；

（2）①猜想∠ACE=∠BAC+∠FEC．過點C作CD∥AB．利用平行線的性質即可解決問題；

②∠BAC，∠ACE與∠CEF之間的數量關系是∠ACE=∠FEC-∠BAC．利用平行線的性質以及三角形的外角的性質即可解決問題；

（3）延長AB，EF，交于點P，依據∠CGP=180°-∠AGC，∠CHP=180°-∠CHE，即可得到∠CGP+∠CHP=360°-（∠AGC+∠CHE），再根據四邊形內角和，即可得到四邊形GCHP中，∠C+∠P=360°-（∠CGP+∠CH）=∠AGC+∠CHE，進而得出結論．

(1)如圖，

∵AB∥CD∥EF

∴∠BAC+∠ACD=180°,（兩直線平行，同旁內角互補）

∠DCE+∠CEF=180°,（兩直線平行，同旁內角互補）

∴∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

故答案為：兩直線平行，同旁內角互補.

（2）①圖（2）中∠BAC，∠ACE與∠CEF之間的數量關系：∠ACE=∠BAC+∠FEC.

證明：過點C作CD∥AB，如圖，

∴∠BAC=∠ACD，

∵AB∥EF，

∴EF∥CD，

∴∠DCE=∠CEF

∴∠ACD+∠DCE=∠BAC+∠CEF，即∠ACE=∠BAC+∠FEC.

②連接AC，CE交AB于點D，如圖，

∵AB∥EF

∴∠BDC=∠CEF，

∵∠BDC=∠BAC+∠ACE

∴∠CEF=∠BAC+∠ACE，即∠ACE=∠FEC-∠BAC．

(3) 延長AB，EF，交于點P，如圖，

∵GH同時平分∠BGC和∠FHC，

∴∠CGH=∠BGH，∠CHG=∠FHG，

∴∠C=∠P，

∵∠CGP=180°-∠AGC，∠CHP=180°-∠CHE，

∴∠CGP+∠CHP=360°-（∠AGC+∠CHE），

∵四邊形GCHP中，∠C+∠P=360°-（∠CGP+∠CH）=360°-[360°-（∠AGC+∠CHE）]= ∠AGC+∠CHE，

即2∠GCH=∠AGC+∠CHE．