Question

已知若干個正整數(shù)之和為2014，求其積的最大值的末三位數(shù)字．

Answer 1

考點(diǎn)：尾數(shù)特征,排列與組合問題

專題：

分析：通過觀察、分析，可得若正整數(shù)之和為3n，當(dāng)這些正整數(shù)都等于3時，它們的積最大．由于2014=3×671+1=3×670+4，且3⁶⁷¹×1=3⁶⁷⁰×3＜3⁶⁷⁰×4，因此當(dāng)正整數(shù)之和為2014時，其積的最大值為3⁶⁷⁰×4即9³³⁵×4．然后利用二項(xiàng)式定理就可解決問題．

解答：解：觀察下列關(guān)系式：
3¹＞1³，3²＞2³，3³=3³，3⁴＞4³，3⁵＞5³，3⁶＞6³_，…
可知：3ⁿ≥n^3_（n為正整數(shù)），
由此可得：若正整數(shù)之和為3n，當(dāng)這些正整數(shù)都等于3時，它們的積最大．
由于2014=3×671+1=3×670+4，且3⁶⁷¹×1=3⁶⁷⁰×3＜3⁶⁷⁰×4，
因此當(dāng)正整數(shù)之和為2014時，其積的最大值為3⁶⁷⁰×4即9³³⁵×4．
根據(jù)二項(xiàng)式定理可得：9³³⁵=（10-1）³³⁵=[10+（-1）]³³⁵
=

C

0 335

•10³³⁵+

C

1 335

•10³³⁴•（-1）+…+

C

332 335

•10³•（-1）³³²+

C

333 335

•10²•（-1）³³³+

C

334 335

•10•（-1）³³⁴+

C

335 335

•（-1）³³⁵．
設(shè)

C

0 335

•10³³⁵+

C

1 335

•10³³⁴•（-1）+…+

C

332 335

•10³•（-1）³³²=1000A，（A為正整數(shù)）
因?yàn)?span id="if4bsot" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

C

333 335

•10²•（-1）³³³+

C

334 335

•10•（-1）³³⁴+

C

335 335

•（-1）³³⁵=-100

C

2 335

+10

C

1 335

-1=-5591151，
所以9³³⁵=1000A-5591151，
所以9³³⁵的末三位數(shù)為849．
因?yàn)?49×4=3396，
所以9³³⁵×4的末三位數(shù)為396，
所以當(dāng)正整數(shù)之和為2014時，其積的最大值的末三位數(shù)字為396．

點(diǎn)評：本題主要考查了尾數(shù)特征、帶余除法、二項(xiàng)式定理、組合計(jì)算、冪的乘方等知識，用到以下公式：a^mn=（a^m）ⁿ，

c

m n

=

c

n-m n

，（a+b）ⁿ=

n

i=0

C

i n

a^n-i•bⁱ，通過觀察分析得出“若正整數(shù)之和為3n，當(dāng)這些正整數(shù)都等于3時，它們的積最大”，事實(shí)上可通過比較得出“若正整數(shù)之和為3n+1，這些正整數(shù)的積最大值為3^n-1×4”，“若正整數(shù)之和為3n+2，這些正整數(shù)的積最大值為3ⁿ×2”．