【題目】如圖,設(shè) A 是由n×n 個(gè)有理數(shù)組成的n n 列的數(shù)表, 其中aij ij =1,2,3,n )表示位于第i 行第 j 列的數(shù),且aij 取值為 1 或-1.

a

a

a

a

a

a

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a

a

對(duì)于數(shù)表 A 給出如下定義:記 xi 為數(shù)表 A 的第i 行各數(shù)之積,y j 為數(shù)表 A 的第 j 列各數(shù)之積.S = (x1+ x2++ x)+(y1+ y2+ y),將S 稱為數(shù)表 A 積和”.

1)當(dāng)n = 4 時(shí),對(duì)如下數(shù)表 A,求該數(shù)表的積和S 的值;

1

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1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2)是否存在一個(gè) 3×3 的數(shù)表 A,使得該數(shù)表的積和S =0 ?并說(shuō)明理由;

3)當(dāng)n =10 時(shí),直接寫出數(shù)表 A 積和S 的所有可能的取值.

【答案】10;(2)不存在;(316,12,8,0,-4,-8,-12-16,-20

【解析】

1)根據(jù)已知條件直接求解即可;

2)不存在AS3,3),使得S =0.可用反證法證明假設(shè)存在,得出矛盾,從而證明結(jié)論;

3)根據(jù)已知條件求出lA)關(guān)于ASn,n),(k=0,1,2,…,n)的關(guān)系式然后代入求值即可.

解:由題意得:(1S4 = (x1+ x2+x3+ x4)+(y1+ y2+y3+ y4)=(1-1+1+1)+(-1-1+1-1)=0

(2)不存在A∈S(3,3),使得S=0.
證明如下:
假設(shè)存在AS3,3),使得S=0
因?yàn)?/span>xiA)∈{1,-1}yjA)∈{1,-1},(i,j=1,2,3),
所以x1A),x3A);y1A),,y3A),這9個(gè)數(shù)中有3個(gè)1,3個(gè)-1
M=x1A…x3Ay1A…y3A).
一方面,由于這9個(gè)數(shù)中有3個(gè)1,3個(gè)-1,從而M=-1
另一方面,x1A…x3A)表示數(shù)表中所有元素之積(記這9個(gè)實(shí)數(shù)之積為m);y1A…y9A)也表示m,從而M=m2=1
①、②相矛盾,從而不存在AS3,3),使得S=lA=0

(3)i)對(duì)數(shù)表A0aiji,j=1,2,3,…,n),顯然lA0=2n
將數(shù)表A0中的a111變?yōu)?/span>-1,得到數(shù)表A1,顯然lA1=2n-4
將數(shù)表A1中的a221變?yōu)?/span>-1,得到數(shù)表A2,顯然lA2=2n-8
依此類推,將數(shù)表Ai-1中的akk1變?yōu)?/span>-1,得到數(shù)表Ak
即數(shù)表Ak滿足:a11=a22==akk=-11kn),其余aij=1
r1A=r2A==rkA=-1,C1A=C2A==CkA=-1
lAk=2[-1)×k+n-k]=2n-4k,其中k=1,2,…,n

當(dāng)n =10 時(shí),數(shù)表 A 積和S 的所有可能的取值為:16,12,8,0,-4,-8-12,-16,-20.

故答案為:(10;(2)不存在;(316,12,8,0,-4-8,-12,-16-20.

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若存放x天后,將這批綠色蔬菜一次性出售,設(shè)這批綠色蔬菜的銷售總金額為y元,試寫出yx之間的函數(shù)關(guān)系式.

這批綠色蔬菜存放多少天后出售可獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?

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1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處,過(guò)點(diǎn)的垂線交直線于點(diǎn),證明,并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);

2)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn)是否存在點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的三角形和全等,若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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