Question

如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別從A、D兩點(diǎn)同時出發(fā)，以相同的速度作直線運(yùn)動.點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動，點(diǎn)F沿射線CD運(yùn)動，連結(jié)EF、AF、AC，EF分別交AD和AC 于點(diǎn)O、H．

（1）求證：EO=OF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，EF=AC,在備用圖1中畫出圖形并說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，∠FAD=∠CAD,在備用圖2中畫出圖形并說明理由，此時設(shè)四邊形CDOH的面積為S，四邊形ABCF的面積為S，請直接寫出S：S的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；

（2）點(diǎn)E在AB的中點(diǎn)．理由見解析；

（3）點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，S1：S2=．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)就可以得出∠EAD=∠FDA=90°，根據(jù)AE=DF就可以得出△AOE≌△DOF就可以得出結(jié)論；

（2）作EG⊥CD于G，由矩形的性質(zhì)就可以得出△EGF≌△ADC就可以得出結(jié)論；

（3）如圖3，由∠FAD=∠CAD就可以得出△ADF≌△ADC就可以得出DF=DC，得出AF=CD=AB而得出結(jié)論．

試題解析：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠DAB=∠ADC=∠B=∠BCD=90°．

在△AOE和△DOF中，

，

∴△AOE≌△DOF（AAS），

∴EO=OF；

（2）點(diǎn)E在AB的中點(diǎn)．

理由：如圖2，作EG⊥CD于G，

∴∠EGF=90°，

∴四邊形AEGD是矩形，

∴EG=AD．AE=DG．

∴FD=DG，

∴DG=FG，

在Rt△ADC和Rt△EGF中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△EGF（HL），

∴FG=DC，

∴DG=DC，

∴AE=AB，

∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)；

（3）點(diǎn)E與點(diǎn)B重合

理由：在△ADF和△ADC中

，

∴△ADF≌△ADC（ASA），

∴FD=CD，

∴AE=CD，

∴AE=AB，

∴點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴△AOH∽△CBH，△AHB∽△

∴，

∴S△AOH：S△CBH=1：4，S△OH：S△ABH=1：2．

設(shè)S△AOH=a，則S△ABH=2a，S△CBH=4a，

∴S△ABC=6a，S△ADC=6a，

∴S四邊形ABCF=18a，S四邊形CDOH=5a，

∴S四邊形CDOH：S四邊形ABCF=，

即S1：S2=．

．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．