Question

【題目】思維啟迪：

（1）如圖1，，兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量，間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)的點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)（點(diǎn)可以直接到達(dá)點(diǎn)），利用工具過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得，那么，間的距離是______．

思維探索：

（2）在和中，，，且，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把點(diǎn)在邊上時(shí)的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)和點(diǎn)位于的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，．

①如圖2，當(dāng)在起始位置時(shí)，猜想：與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是_______；_______．

②如圖3，當(dāng)，點(diǎn)落在邊上，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

③當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】（1）200；（2）①，；②，，證明見(jiàn)解析；③．

【解析】

（1）證明即可得到答案；

（2）①延長(zhǎng)EP交BC于F，證明可得是等腰直角三角形，即可證明PC=PE，PC⊥PE． ②作BF∥DE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE、CF，證明 ，結(jié)合已知得BF=DE=AE，再證明，可得是等腰直角三角形，即可證明PC=PE，PC⊥PE． ③作BF∥DE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CE、CF，過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AC交CA延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAE=150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，得∠FBC=∠EAC，同②可證可得PC=PE，PC⊥PE，再由已知解三角形求解，即可求出

解：（1）為的中點(diǎn)，

故答案為：

（2）①PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是，．

理由如下：如圖，延長(zhǎng)EP交BC于F，

為的中點(diǎn)，

∴（AAS），

∴PF=PE，BF=DE，

又∵AC=BC，AE=DE，

∴FC=EC， 又∵∠ACB=90°，

∴是等腰直角三角形，

∵EP=FP，

∴PC=PE，PC⊥PE．

故答案為：

②，．

證明如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．

，

點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

，

，

，

，．

，

．

，

，．

又，

．

，

，

．

在中，

，，

．

③如圖，作BF∥DE，交EP延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

連接CE、CF，過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AC交CA延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，

當(dāng)α=150°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAE=150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，

∴∠FBC=∠EAC=α=150°，

同②可得（AAS），

同②可得

同②可得是等腰直角三角形，

CP⊥EP，CP=EP=

在中，∠EAH=30°，AE=DE=1，

∴HE=，AH=

又∵AC=BC=3，

∴CH=

∴

∴