Question

【題目】如圖，等腰直角△ABC中，CA=CB，點E為△ABC外一點，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．

（1）求證：△CBE為等邊三角形；

（2）若AD=5，DE=7，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】

（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出，∠CAE=∠CEA，再得出∠BCE的度數(shù)，進而利用等邊三角形的判定得出答案；
（2）首先在AE上截取EM=AD,連接CM進而得出△ACD≌△ECM，進而得出△MCD為等邊三角形，即可得出答案．

（1）證明：∵CA=CB，CE=CA，

∴BC=CE，∠CAE=∠CEA，

∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，

∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°，

∴∠DAC=∠CEA=15°，

∴∠ACE=150°，

∴∠BCE=60°，

∴△CBE為等邊三角形；

（2）在AE上截取EM=AD，連接CM．

在△ACD和△ECM中，

，

∴△ACD≌△ECM（SAS），

∴CD=CM，

∵∠CDE=60°，

∴△MCD為等邊三角形，

∴CD=DM=7﹣5=2．