【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的頂點A,C分別在x軸,y軸的正半軸上,且OA=4,OC=3,若拋物線經過O,A兩點,且頂點在BC邊上,對稱軸交AC于點D,動點P在拋物線對稱軸上,動點Q在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當PO+PC的值最小時,求點P的坐標;

(3)是否存在以A,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出P,Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2+3x;(2)當PO+PC的值最小時,點P的坐標為(2,);(3)存在,具體見解析.

【解析】

試題(1)由條件可求得拋物線的頂點坐標及A點坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2) 連接PA,D與P重合時有最不值,求出點D的坐標即可;

(3)存在,分別以PA,PC、PC,PQ、PA,PQ為一組鄰邊時,寫出坐標即可;

試題解析:

(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,

A(4,0),C(0,3),

∵拋物線經過O、A兩點,且頂點在BC邊上,

∴拋物線頂點坐標為(2,3),

∴可設拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+3,

A點坐標代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=,

∴拋物線解析式為y=(x﹣2)2+3,即y=x2+3x;

(2)連接PA

∵點P在拋物線對稱軸上,∴PA=PO,∴PO+PC= PA+PC

當點P與點D重合時,PA+PC= AC;

當點P不與點D重合時,PA+PC> AC

∴當點P與點D重合時,PO+PC的值最小,

設直線AC的解析式為y=kx+b,

根據(jù)題意,得解得

∴直線AC的解析式為,

x=2時,,

∴當PO+PC的值最小時,點P的坐標為(2,);

(3)存在.當以PA,PC為一組鄰邊時,P(2,0),Q(2,3);

當以PC,PQ為一組鄰邊時,P(2,-6),Q(6,-9);

當以PA,PQ為一組鄰邊時,P(2,-12),Q(-2,-9).

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