Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，且OE⊥AC于點E，過點C作⊙O的切線，交OE的延長線于點D，交AB的延長線于點F，連接AD．（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若cos∠BAC=，AC=8，求線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由切線的性質得出∠OCD=90°，由等腰三角形的性質得出∠COD=∠AOD，由SAS證明△COD≌△AOD，得出∠OAD=∠OCD=90°，即可得出結論；

（2）由直角三角形的銳角關系證出∠ODA=∠BAC，由垂徑定理得出AE=CE=AC=4，由三角函數得出，設DE=4x，AD=5x，則AE=3x=4，求出x，即可得出結果．

試題解析：（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵DC是⊙O的切線，

∴OC⊥DF，

∴∠OCD=90°，

∵OC=OA，OE⊥AC，

∴∠COD=∠AOD，

在△OAD和△OCD中，

，

∴△COD≌△AOD（SAS），

∴∠OAD=∠OCD=90°，

∴AD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠OAD=90°，AC⊥OD，

∴∠ODA=∠BAC，AE=CE=AC=4，

在Rt△ADE中，cos∠BAC=cos∠ADE=，

∴設DE=4x，AD=5x，

則AE=3x=4，

∴x=，

∴AD=．