Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，點O在BC邊的中線AD上，⊙O與BC相切于點E，且∠OBA=∠OBC．

（1）求證：AB為⊙O的切線；

（2）求⊙O的半徑；

（3）求tan∠BAD．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為；（3）．

【解析】試題分析：（1）作OF垂直AB于點F，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證得OE=OF，從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求得，進而求得 設的半徑為r，然后根據(jù)得到

解關于r的方程即可求得半徑；
（3）證得Rt△ODE∽Rt△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，

即可求得， ，解直角三角形即可求得．

試題解析：

(1)證明：如圖，作OF垂直AB于點F，

∵⊙O與BC相切于點E，

∴OE⊥BC,

又∠OBA=∠OBC，

∴OE=OF，

∴AB為的切線 ；

(2)∵∠C=90，AC=3，AB=5，

又D為BC的中點，

∴CD=DB=2，

設⊙O的半徑為r，即

∴6+2r+5r=12

∴⊙O的半徑為

(3) ，OE⊥BC，

∴OE∥AC，

∴Rt△ODE∽Rt△ADC，

∴，∴，

∴，

∴，

∴．