Question

如圖1，若拋物線L₁的頂點(diǎn)A在拋物線L₂上，拋物線L₂的頂點(diǎn)B也在拋物線L₁上（點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合）我們把這樣的兩拋物線L₁、L₂互稱為“友好”拋物線，可見一條拋物線的“友好”拋物線可以有很多條．
（1）如圖2，已知拋物線L₃：y=2x²-8x+4與y軸交于點(diǎn)C，試求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）請求出以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L₃的“友好”拋物線L₄的解析式，并指出L₃與L₄中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍；
（3）若拋物y=a₁（x-m）²+n的任意一條“友好”拋物線的解析式為y=a₂（x-h）²+k，請寫出a₁與a₂的關(guān)系式，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)x=0，求出y的值，即可得到C的坐標(biāo)，把拋物線L₃：y=2x²-8x+4配方即可得到拋物線的對稱軸，由此可求出點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）由（1）可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），再由條件以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的L₃的“友好”拋物線L₄的解析式，可求出L₄的解析式，進(jìn)而可求出L₃與L₄中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍；
（3）根據(jù)：拋物線L₁的頂點(diǎn)A在拋物線L₂上，拋物線L₂的頂點(diǎn)B也在拋物線L₁上，可以列出兩個(gè)方程，相加可得：（a1+a2 ）（m-h）²=0，可得a₁=-a₂

解答：解：（1）∵拋物線L3：y=2x²-8x+4，
∴y=2（x-2）²-4，
∴頂點(diǎn)為（2，4），對稱軸為x=2，
設(shè)x=0，則y=4，
∴C（0，4），
∴點(diǎn)C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（4，4）；
（2）∵以點(diǎn)D（4，4）為頂點(diǎn)的L3的友好拋物線L4還過點(diǎn)（2，-4），
∴L4的解析式為y=-2（x-4）²+4，
∴L₃與L₄中y同時(shí)隨x增大而增大的自變量的取值范圍是：2≤x≤4時(shí)；
（3）a₁=-a₂，
理由如下：
∵拋物線L₁的頂點(diǎn)A在拋物線L₂上，拋物線L₂的頂點(diǎn)B也在拋物線L₁上，
∴可以列出兩個(gè)方程

n=a2(m-h)2+k① k=a1(h-m)2+n②

，
①+②得：
（a₁+a₂ ）（m-h）²=0，
∴a₁=-a₂．

點(diǎn)評：本題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了拋物線的對稱變換、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及新定義的問題，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，特別是（3）問根據(jù)已知條件得出方程組求解，有一定難度．