Question

如圖所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF為梯形ABCD的中位線，DH為梯形的高，且交EF于G點，下列結(jié)論正確的有（　�。�
①G為EF的中點；②△EFH為等邊三角形；③四邊形EHCF為菱形；④S_△BEH=

1

2

S_△FCH．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：直角梯形,等邊三角形的判定,菱形的判定,梯形中位線定理

專題：

分析：根據(jù)梯形中位線得出EF∥BC∥AD，根據(jù)矩形性質(zhì)得出四邊形AEGD和四邊形EBHG都是矩形，得出AE=BE=DG=GH；求出EF=EH=CH=CF=2，根據(jù)菱形的判定推出四邊形EHCF是菱形；根據(jù)平行線間的距離處處相等得出△EBH邊BH上的高和△FCH的邊CH上的高相等，根據(jù)BH=1和CH=2即可得出△EBH的面積是△FHC面積的一半．

解答：解：∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴AD∥BH，AB∥DH，∠A=90°，
∴四邊形ABHD是矩形，
∴AD=BH=1，AE=DG，
同理BE=HG，
∵AE=BE，
∴DG=GH，
∵EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF∥AD∥BC，
∴DG=GH，
∵DF=CF，
∴GF=

1

2

CH=

1

2

×（3-1）=1，
∵AE∥DG，AD∥EG，
∴四邊形AEGD是平行四邊形，
∴AD=EG=1，
∴EG=GF，
∴G為EF的中點，∴①正確；
EF=1+1=2，
在Rt△DHC中，DH=

42-(3-1)2

=2

3

，
∴DG=GH=

3

=BE，
在Rt△EBH中，由勾股定理得：EH=

( 3 )2+12

=2，
∵∠DHC=90°．F為DC中點，
∴HF=

1

2

DC=2，
即EF=EH=HF=2，
∴△EFH是等邊三角形，∴②正確；
∵EH=HC=CF=EF=2，
∴四邊形EFCH是菱形，∴③正確；
∵EF∥BC，
∴△EBH邊BH上的高和△FCH的邊CH上的高相等，
∵BH=1，CH=2，
∴△EBH的面積是△FHC面積的一半，∴④正確．
故選D．

點評：本題考查了直角梯形，梯形的中位線，矩形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，三角形的木料，菱形的判定等知識點的應(yīng)用．