Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）交x軸于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C（0，2）

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M為拋物線的頂點，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積；

（3）連接AC，在x軸上是否存在點P使△ACP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）6；（3）存在P1、P2、P3、P4四個點，它們的坐標分別是P1（﹣1﹣，0）、P2（﹣1，0）、P3（，0）、P4（1，0）．

【解析】

試題分析：(1)、將A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）三點坐標分別代入y=ax2+bx+c，求出a、b、c的值，從而確定拋物線解析式；(2)、先求出頂點M的坐標，然后過M作MN垂直y軸于N，把△BCM的面積轉化成梯形OBMN的面積減去兩個直角三角形的面積,求出相應的長度，代入面積公式即可；(3)、因為P點在x軸上，∴P點縱坐標為0，因為AO=1，CO=2，所以AC=，然后分類討論，根據AC為腰，AC為底兩種情況求P點坐標．當AC為腰時，分為A為等腰三角形的頂點（左右各有一點P），C為等腰三角形的頂點（有一點P），兩種情況求P點坐標；當AC為底，P為頂點時，作線段AC的垂直平分線交x軸于點P，利用勾股定理求出OP,進而得到P點坐標．

試題解析：(1)、因為拋物線經過A,B,C三點，所以將A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）分別代入y=ax2+bx+c得，a-b+c=0,25a+5b+c=0,c=2；組成三元一次方程組，解得a=﹣,b=,c=2,∴拋物線的解析式是y=﹣x2+x+2；

(2)、先根據頂點坐標公式：，和解析式求出頂點M的坐標，頂點M的坐標是M（2，）．

過M作MN垂直y軸于N，如圖，S△BCM=S四邊形OBMN﹣S△OBC﹣S△MNC，其中CN=-2=,MN=2，BO=5，∴S△BCM=（2+5）﹣×5×2﹣×（﹣2）×2=6；

(3)、因為P點在x軸上，∴P點縱坐標為0，因為AO=1，CO=2，所以AC=，分類討論，根據AC為腰，AC為底兩種情況求P點坐標．當以AC為腰時，在x軸上有兩個點分別為P1，P2，AP1=AP2=AC=,P1在x軸負半軸，P2在x軸正半軸，∵0P1=1+，OP2=﹣1，∴P1，P2的坐標分別是P1（﹣1﹣，0），P2（﹣1，0）；當以AC為底,P為頂點時，作AC的垂直平分線交x軸于P3，連接CP3,設OP3為x，因為CP3=AP3，由勾股定理得：，解得x=,則P3的坐標為P3（，0）．當AC為腰， C為等腰三角形的頂點時，AC=PC，OP=AO=1,則P4（1，0）．所以存在P1、P2、P3、P4四個點，使△ACP為等腰三角形,它們的坐標分別是P1（﹣1﹣，0）、P2（﹣1，0）、P3（，0）、P4（1，0）．