Question

如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)B與⊙O的圓心O的重合，點(diǎn)A在⊙O上，CD=6cm．將正方形ABCD向右平移運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)⊙O上時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)正方形ABCD與⊙O重疊部分（陰影部分）的面積為S．
（1）請(qǐng)寫出⊙O半徑的長(zhǎng)度；
（2）試寫出正方形ABCD平移運(yùn)動(dòng)過程中，S的大小變化規(guī)律；
（3）在平移過程中，AD、BC與⊙O的交點(diǎn)分別為E、F．當(dāng)EF=6cm時(shí)，求S的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）易證⊙O半徑的長(zhǎng)度等于CD長(zhǎng)．
（2）通過操作、畫圖很容易知道S的大小變化規(guī)律．
（3）由EF=6cm易得△OEF是等邊三角形，從而得到∠EOF=60°，從而可以求出扇形OEF的面積．由EF=6cm可以證到四邊形ABFE是矩形，從而可以求出△OAE和△OBF的面積，進(jìn)而可以求出S的值．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=DC．
∵DC=6，
∴AB=6．
∴OA=BA=6．
∴⊙O半徑的長(zhǎng)度為6cm．
（2）觀察圖1、圖2、圖3可知：
從圖1到圖2，S逐漸增大；從圖2到圖3，S逐漸減�。�
∴正方形ABCD從左向右平移的運(yùn)動(dòng)過程中，S的大小變化規(guī)律是先變大后變�。�
（3）過點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為H，連接OE，OF，如圖2所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°．
∵EH⊥BC，
∴∠EHB=90°．
∴∠DAB=∠ABC=∠EHB=90°．
∴四邊形ABHE為矩形．
∴EH=AB=6．
∵EF=6，
∴點(diǎn)F與點(diǎn)H重合．
∴四邊形ABFE為矩形．
∴AB∥EF．
∴∠AOE=∠OEF．
∵OE=6，OF=6，EF=6
∴△OEF是等邊三角形．
∴∠EOF=∠OEF=60°．
∴∠AOE=60°．
∵sin∠AOE=

AE

OE

AE

6

=

3

2

，
∴AE=3

3

．
∴OA=

OE2-AE2

=

62-(3 3 )2

=3．
∴S_△OAE=

1

2

OA•AE=

9 3

2

．
同理：S_△OBF=

9 3

2

．
∴S=S_△OAE+S_△OBF+S_扇形OEF
=

9 3

2

+

9 3

2

+

60π×62

360

=9

3

+6π．
∴當(dāng)EF=6cm時(shí)，S的值為（9

3

+6π）cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、扇形的面積公式等知識(shí)，而第三小題中證明四邊形ABFE是矩形是解決該題的難點(diǎn)．