Question

如圖，菱形ABCD中，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與菱形的頂點(diǎn)重合），且滿(mǎn)足CF=DE，∠A=60°．
（1）寫(xiě)出圖中一對(duì)全等三角形：

 

；
（2）求證：△BEF是等邊三角形；
（3）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，設(shè)△DEF的周長(zhǎng)為m，則m的取值范圍為

 

（直接寫(xiě)出答案）；
（4）連接AC分別與邊BE、BF交于點(diǎn)M、N，且∠CBF=15°，試說(shuō)明：MN²+CN²=AM²．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)題意可判斷出AE=DF，DE=CF，從而結(jié)合菱形的性質(zhì)即可得出全等三角形的對(duì)數(shù)，選擇一對(duì)進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)（1）可得出BE=BF，∠EBF=60°，繼而可判定△BEF為正三角形；
（3）由（2）知，DE+DF+EF=AD+BE．因?yàn)锳D=2，則當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE最短，所以由三角函數(shù)求出BE，從而得出m的最小值；
（4）如圖2，把△BNC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使CB與AB重合，N對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N′，連接MN′．構(gòu)建全等三角形：△N′BM≌△NBM（SAS），利用該全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合已知條件和圖形得到∠AN′M=135°-45°=90°，所以由勾股定理證得MN²+CN²=AM²．

解答：（1）解：如圖1，△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三對(duì)；
證明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，

BD=BC  ∠C=∠BDE DE=CF

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）．
故答案可以是：△BDE≌△BCF．

（2）證明：如圖1，∵由（1）知，△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF為正三角形；


（3）解：如圖1，由（2）知，△BEF是等邊三角形，則EF=BE=BF．
則m=DE+DF+EF=AD+BE．
當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE最短，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最短
∵在Rt△ABE中，sin60°=

BE

AB

，即

BE

2

=

3

2

，
∴DE=

3

．
∴m=2+

3

．
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，△DEF的周長(zhǎng)最長(zhǎng)，此時(shí)m=2+2=4．
綜上所述，m的取值范圍是：2+

3

≤m＜4；
故答案是：2+

3

≤m＜4；

（4）證明：如圖2，把△BNC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使CB與AB重合，N對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N′，連接MN′．則∠NBC=∠N′BA．
∴∠N′BA+∠EBA=60°=∠EBF．
在△N′BM與△NBM中，

BN=BN′ ∠N′BM=∠NBM BM=BM

，
∴△N′BM≌△NBM（SAS），
∴N′M=NM，∠MN′B=∠MNB=45°．
又∵∠AN′B=∠BNC=180°-（15°+30°）=135°，
∴∠AN′M=135°-45°=90°，
∴MN²+CN²=AM²．

點(diǎn)評(píng)：本題是菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定以及勾股定理綜合性的題目，難度較大．解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合．