Question

15．如圖，分別以平行四邊形ABCD（∠CDA≠90°）的三邊AB、CD、DA為斜邊在平行四邊形ABCD外部作等腰直角三角形△ABE、△CDG、△ADF．連接GF、EF，請你試著證明GF⊥EF．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)得出∠FDG=∠EAF，進而得出△EAF≌△GDF即可得出答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°，
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°，
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°-∠BAE-∠DAF-∠BAD=270°-（180°-∠CDA）=90°+∠CDA，
∴∠FDG=∠EAF，
∵在△EAF和△GDF中，
DF=AF，∠FDG=∠FAE，DG=AE，
∴△EAF≌△GDF（SAS），
∴∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA，
∴∠GFE=90°，
∴GF⊥EF．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△EAF≌△GDF是解題關(guān)鍵．