Question

△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形；
（1）如圖1，若BC=4

2

，AC=7，∠ACB=45°，求⊙O的半徑．
（2）如圖2，若AB=7，BC=5，AC=8，求∠C的度數(shù)及⊙O的半徑．
（3）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BE是AC邊上的高，連結(jié)BO．
①請證明：∠CBE=∠ABO；
②若AB=7，BC=6，AC=8，請求出⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,含30度角的直角三角形,勾股定理,圓周角定理

專題：計算題

分析：（1）作直徑BD，BH⊥AC于H，連結(jié)AD，如圖1，在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得CH=BH=

2

2

BC=4，則AH=AC-CH=3，接著在Rt△ABH中利用勾股定理計算出AB=5，然后根據(jù)圓周角定理，由BD為直徑得到∠BAD=90°，∠D=∠ACB=45°，則可判斷△ABD為等腰直角三角形，所BD=

2

AB=5

2

，即可得到⊙O的半徑為

5 2

2

；
（2）作直徑BD，BH⊥AC于H，連結(jié)AD，如圖2，設(shè)CH=a，BH=b，則AH=AC-CH=8-a，利用勾股定理得到a²+b²=5²①，（8-a）²+b²=7²②，利用①-②可解得a=

5

2

，在Rt△BCH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠CBH=30°，則∠C=60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BAD=90°，∠D=∠ACB=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=

3

3

AB=

7 3

3

，BD=2AD=

14 3

3

，即可得到⊙O的半徑為

7 3

3

；
（3）①證明：作直徑BD，連結(jié)AD，如圖3，先利用垂直定義，由BE⊥AC得到∠CBE+∠C=90°，而∠BAD=90°，∠D=∠ACB，易得∠CBE=∠ABO；
②設(shè)CE=a，BE=b，則AE=AC-CE=8-a，利用勾股定理得a²+b²=6²①，（8-a）²+b²=7²②，利用①-②可解得a=

51

16

，接著在Rt△BCE中，利用勾股定理計算出BE=

21 15

16

，然后證明Rt△ABD∽Rt△EBC，利用相似比可計算出AD，從而得到⊙O的半徑．

解答：解：（1）作直徑BD，BH⊥AC于H，連結(jié)AD，如圖1，
在Rt△BCH中，CH=BH=

2

2

BC=

2

2

•4

2

=4，
∴AH=AC-CH=7-4=3，
在Rt△ABH中，AB=

AH2+BH2

=5，
∵BD為直徑，
∴∠BAD=90°，
∵∠D=∠ACB=45°，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴BD=

2

AB=5

2

，
∴⊙O的半徑為

5 2

2

；
（2）作直徑BD，BH⊥AC于H，連結(jié)AD，如圖2，
設(shè)CH=a，BH=b，則AH=AC-CH=8-a，
在Rt△BCH中，a²+b²=5²①，
在Rt△BAH中，（8-a）²+b²=7²②，
①-②得-64+16a=-24，解得a=

5

2

，
在Rt△BCH中，∵BC=5，CH=

5

2

，
∴∠CBH=30°，
∴∠C=60°，
∵BD為直徑，
∴∠BAD=90°，
∵∠D=∠ACB=60°，
∴AD=

3

3

AB=

7 3

3

，
∴BD=2AD=

14 3

3

∴⊙O的半徑為

7 3

3

；
（3）①證明：作直徑BD，連結(jié)AD，如圖3，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵BD為直徑，
∴∠BAD=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∵∠D=∠ACB，
∴∠CBE=∠ABO；
②設(shè)CE=a，BE=b，則AE=AC-CE=8-a，
在Rt△BCE中，a²+b²=6²①，
在Rt△BAE中，（8-a）²+b²=7²②，
①-②得-64+16a=-13，解得a=

51

16

，
在Rt△BCE中，∵BC=6，CE=

51

16

，
∴BE=

BC2-CE2

=

21 15

16

，
∵∠CBE=∠ABD，
∴Rt△ABD∽Rt△EBC，
∴

AD

BC

=

AB

AE

，
∴AD=

6×7

21 15 16

=

32 15

15

，
∴⊙O的半徑為

16 15

15

．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了圓周角定理、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．