【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3經過點A(﹣10),B2,0)兩點,與y軸交于點C,點D是拋物線上一個動點,設點D的橫坐標為m0m2).連接AC,BC,DB,DC

1)求拋物線的函數(shù)表達式;

2)△BCD的面積何時最大?求出此時D點的坐標和最大面積;

3)在(2)的條件下,若點Mx軸上一動點,點N是拋物線上一動點,試判斷是否存在這樣的點M,使得以點BD,MN為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2)當m=1,△BCD面積最大為,此時D點為(13);(3)存在,點N的坐標為:(0,3)或(,﹣3)或(,﹣3

【解析】

1)由拋物線交點式表達式得:y=ax+1)(x2),將(0,3)代入上式,即可求解;

2)過點Dy軸的平行線交直線BC與點H,由SBDC=SDHC+SHDB=HD×OB,即可求解;

3)分BD是平行四邊形的一條邊、BD是平行四邊形的對角線兩種情況,分別求解即可.

解:(1)由拋物線交點式表達式得:y=ax+1)(x2),

將(03)代入上式得:﹣2a=3,解得:a=,

故拋物線的表達式為:;

2)點C03),B2,0),

設直線BC的表達式為:y=kx+n,則,解得:

故直線BC的表達式為:,

如圖所示,過點Dy軸的平行線交直線BC與點H,

設點Dm,),則點Hmm+3),

SBDC=SDHC+SHDB=HD×OB=,

∵﹣0,故△BCD的面積有最大值,

m=1,△BCD面積最大為,此時D點為(1,3);

3m=1時,D點為(1,3),

①當BD是平行四邊形的一條邊時,

設點Nn,),

則點N的縱坐標為絕對值為3,

,

解得:n=01(舍去)或,

故點N的坐標為(0,3)或(,﹣3)或(,﹣3),

②當BD是平行四邊形的對角線時,

設點M(z,0),點N(s,t),

由中點坐標公式得:,解得t=3,

,解得s=0s=1(舍去),

N的坐標為(0,3);

綜上,點N的坐標為:(0,3)或(,﹣3)或(,﹣3).

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白開水

瓶裝礦泉水

碳酸飲料

非碳酸飲料

平均價格(元/瓶)

0

2

3

4

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