Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，點C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為_____．

Answer 1

【答案】 +

【解析】

根據(jù)拋物線解析式求得點D（1，4）、點E（2，3），作點D關(guān)于y軸的對稱點D′（-1，4）、作點E關(guān)于x軸的對稱點E′（2，-3），從而得四邊形EDFG的周長=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，當點D′、F、G、E′四點共線時，周長最短，據(jù)此根據(jù)兩點間的距離公式可得答案．

解：如圖，

在y＝﹣x2+2x+3中，當x＝0時，y＝3，即點C（0，3），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴對稱軸為x＝1，頂點D（1，4），

則點C關(guān)于對稱軸的對稱點E的坐標為（2，3），

作點D關(guān)于y軸的對稱點D′（﹣1，4），作點E關(guān)于x軸的對稱點E′（2，﹣3），

連接D′、E′，D′E′與x軸的交點G、與y軸的交點F即為使四邊形EDFG的周長最小的點，

四邊形EDFG的周長＝DE+DF+FG+GE

＝DE+D′F+FG+GE′

＝DE+D′E′

＝.

∴四邊形EDFG的周長的最小值為： +．

故答案是： +．