Question

如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)BD，過點(diǎn)C作CF⊥BD于F，過點(diǎn)A作AE∥CF交BC延長(zhǎng)線于E，交BD于M，CH⊥AE于H．
（1）求證：AG=CF；
（2）若M是GH中點(diǎn)，AG=8，求BD和CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定得出△AGD≌△CFB，進(jìn)而得出答案；
（2）首先根據(jù)已知得出△CHM∽△DGM，以及四邊形GFCH是矩形和△AGD∽△DCB，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出AD與DG之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出即可．

解答：（1）證明：∵CF⊥BD，AE∥CF，
∴∠BFC=∠AGD=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
在△AGD和△CFB中，

∠AGD=∠CFB ∠1=∠2 AD=BC

，
∴△AGD≌△CFB（AAS），
∴AG=CF；

（2）解：由題意可得出：∠CFG=∠FGH=∠CHG=90°，
∴四邊形GFCH是矩形，
∴FC=GH，CH=FG，
∵CH∥BD，
∴△CHM∽△DGM，
∵GM=MH，
∴DM=CM，DG=CH，
∵△AGD≌△CFB，
∴DG=BF，
∴BF=FG=DG，
∵CH∥BG，
∴

CH

BG

=

HE

GE

=

1

2

，
∴GH=HE，
∵∠1=∠2，∠AGD=∠BCD，
∴△AGD∽△DCB，
∴

AD

BD

=

DG

BC

，
設(shè)AD=y，BF=FG=DG=x，
∴

y

3x

=

x

y

，
解得：y=

3

x，
∵AD²=DG²+AG²，
∴（

3

x）²=x²+8²，
解得：x=4

2

，
∴BD=3×4

2

=12

2

，
∵HE=8，CH=4

2

，
∴EC=

HE2+HE2

=4

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出AD與DG之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．