Question

（1）如圖①，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE、CD．BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）運(yùn)用（1）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：
如圖②，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B、E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=100m，BC=150m，AC=AE，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）由正方形的性質(zhì)就可以得出△ADC≌△ABE，就可以得出CD=BE；
（2）在AB的外側(cè)作AD⊥AB，使AD=AB，連結(jié)CD，BD，就可以得出△ADC≌△ABE，就有CD=BE，在Rt△CDB中由勾股定理就可以求出CD的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）CD=BE．
理由：如圖①∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；
（2）如圖②，在AB的外側(cè)作AD⊥AB，使AD=AB，連結(jié)CD，BD，
∴∠DAB=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°，
即∠DBC=90°．
∴∠CAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE．
∵AB=100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得
BD=100

2

．
∵BC=150m，在Rt△BDC中，由勾股定理，得
CD=

BC2+BD2

=50

17

m，
∴BE=50

17

m．
答：BE的長(zhǎng)為50

17

m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．