Question

如圖，拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點與y軸交于點C，動點P在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

 

考點： 二次函數(shù)綜合題． 

分析： （1）將A、B兩點的坐標(biāo)分別代入y=﹣x²+bx+c，運用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；

（2）可分兩種情況（①以C為直角頂點，②以A為直角頂點）討論，然后根據(jù)點P的縱、橫坐標(biāo)之間的關(guān)系建立等量關(guān)系，就可求出點P的坐標(biāo)；

（3）連接OD，易得四邊形OFDE是矩形，則OD=EF，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)OD⊥AC時，OD（即EF）最短，然后只需求出點D的縱坐標(biāo)，就可得到點P的縱坐標(biāo)，就可求出點P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于A（4，0），B（﹣1，0）兩點，

∴，

解得：，

則拋物線的解析式是y=﹣x²+3x+4；

 

（2）存在．

①當(dāng)以C為直角頂點時，

過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁，

過點P₁作y軸的垂線，垂足是M，如圖1．

∵∠ACP₁=90°，

∴∠MCP₁+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP₁=∠OAC．

∵OA=OC=4，

∴∠MCP₁=∠OAC=45°，

∴∠MCP₁=∠MP₁C，

∴MC=MP₁，

設(shè)P（m，﹣m²+3m+4），

則m=﹣m²+3m+4﹣4，

解得：m₁=0（舍去），m₂=2．

∴m=2，

此時﹣m²+3m+4=6，

∴P₁的坐標(biāo)是（2，6）；

②當(dāng)點A為直角頂點時，

過A作AP₂⊥AC交拋物線于點P₂，

過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F，如圖2，則P₂N∥x軸，

∵∠CAO=45°，

∴∠OAP2 =45°，

∴∠FP₂N=45°，AO=OF，

∴P₂N=NF，

設(shè)P₂（n，﹣n²+3n+4），

則﹣n+4=﹣（﹣n²+3n+4），

解得：n₁=﹣2，n₂=4（舍去），

∴n=﹣2，

此時﹣n²+3n+4=﹣6，

∴P₂的坐標(biāo)是（﹣2，﹣6）．

綜上所述：P的坐標(biāo)是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

 

（3）當(dāng)EF最短時，點P的坐標(biāo)是（，2）或（，2）．

解題過程如下：

連接OD，如圖3，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)OD⊥AC時，OD（即EF）最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：D是AC的中點．

又∵DF∥OC，

∴△AFD∽△AOC，

∴==，

∴DF=OC=2，

∴點D的縱坐標(biāo)是2，

∴點P的縱坐標(biāo)也是2，

解﹣x²+3x+4=2，得x₁=，x₂=，

∴點P的坐標(biāo)為（，2）或（，2）．

點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、拋物線上點的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理等知識，有一定的綜合性，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵，根據(jù)矩形的性質(zhì)將EF轉(zhuǎn)化為OD，然后利用垂線段最短是解決第（3）小題的關(guān)鍵．