【題目】在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O;在Rt△PMN中,∠MPN90°.
(1)如圖1,若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分別交AD、AB于點E、F,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系;
(2)將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α<45°).
①如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中(1)中的結(jié)論依然成立嗎,若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
②如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠DOM15°時,連接EF,若正方形的邊長為2,請求出線段EF的長;
③如圖3,旋轉(zhuǎn)后,若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動(不與點O、B重合),當(dāng)BD3BP時,猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系,并給出證明;當(dāng)BDm·BP時,請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)PE=PF;(2)①成立,理由參見解析;②;③PE=2PF,理由見解析;PE=(m-1)·PF.
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可;
(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△FOA≌△EOD,得到答案;
②作OG⊥AB于G,根據(jù)余弦的概念求出OF的長,根據(jù)勾股定理求值即可;
③過點P作HP⊥BD交AB于點H,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)解答結(jié)果總結(jié)規(guī)律得到當(dāng)BD=mBP時,PE與PF的數(shù)量關(guān)系.
解:(1)PE=PF,理由:
∵四邊形ABCD為正方形,
∴∠BAC=∠DAC,又PM⊥AD、PN⊥AB,
∴PE=PF;
(2)①成立,理由:
∵AC、BD是正方形ABCD的對角線,
∴OA=OD,∠FAO=∠EDO=45°,∠AOD=90°,
∴∠DOE+∠AOE=90°,
∵∠MPN=90°,
∴∠FOA+∠AOE=90°,
∴∠FOA=∠DOE,
在△FOA和△EOD中, ,
∴△FOA≌△EOD,
∴OE=OF,即PE=PF;
②作OG⊥AB于G,
∵∠DOM=15°,
∴∠AOF=15°,則∠FOG=30°,
∵cos∠FOG=,
∴OF=,
又OE=OF,
∴EF= ;
③PE=2PF,
如圖3,過點P作HP⊥BD交AB于點H,
則△HPB為等腰直角三角形,∠HPD=90°,
∴HP=BP,
∵BD=3BP,
∴PD=2BP,
∴PD=2HP,
又∵∠HPF+∠HPE=90°,∠DPE+∠HPE=90°,
∴∠HPF=∠DPE,
又∵∠BHP=∠EDP=45°,
∴△PHF∽△PDE,
∴,
即PE=2PF,
由此規(guī)律可知,當(dāng)BD=mBP時,PE=(m-1)PF.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,CD與⊙O相切于C,BE∥CO.
(1)求證:BC是∠ABE的平分線;
(2)若DC=8,⊙O的半徑OA=6,求CE的長.
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【題目】風(fēng)電已成為我國繼煤電、水電之后的第三大電源,風(fēng)電機(jī)組主要由塔桿和葉片組成(如圖1),圖2是從圖1引出的平面圖.假設(shè)你站在A處測得塔桿頂端C的仰角是55°,沿HA方向水平前進(jìn)43米到達(dá)山底G處,在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達(dá)最高位置,此時測得葉片的頂端D(D、C、H在同一直線上)的仰角是45°.已知葉片的長度為35米(塔桿與葉片連接處的長度忽略不計),山高BG為10米,BG⊥HG,CH⊥AH,求塔桿CH的高.(參考數(shù)據(jù):tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8,sin35°≈0.6)
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【題目】如圖,直線y=﹣2x+2與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點,將線段OA分成n等份,分點分別為P1,P2,P3,…,Pn﹣1,過每個分點作x軸的垂線分別交直線AB于點T1,T2,T3,…,Tn﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn﹣1分別表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面積,則當(dāng)n=2015時,S1+S2+S3+…+Sn﹣1=_____.
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【題目】赤峰市克旗初中有3000名學(xué)生參加“愛我中華知識競賽”的活動,為了了解本次知識競賽的成績分布情況,從中抽取了200名學(xué)生的得分進(jìn)行統(tǒng)計.請你根據(jù)不完整的表格,回答下列問題:
(1)補全頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖;
(2)若將得分轉(zhuǎn)化為等級,規(guī)定評為“”,評為“”,評為“”,評為“”.這次全旗參加競賽的學(xué)生中,有多少學(xué)生參賽成績被評為“”?如果隨機(jī)抽查一名參賽學(xué)生的成績等級,則這名學(xué)生的成績在哪一個等級的可能性大?請說明理由.
成績(分) | 頻數(shù) | 頻率 |
10 | ||
16 | 0.08 | |
0.2 | ||
62 | ||
72 | 0.36 |
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,點的坐標(biāo)為,拋物線經(jīng)過兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點是直線上方拋物線上的一點,過點作軸于點,交線段于點,使.
①求點的坐標(biāo)和的面積;
②在直線上是否存在點,使為直角三角形?若存在,直接寫出符合條件的所有點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】2019年12月以來,湖北省武漢市部分醫(yī)院陸續(xù)發(fā)現(xiàn)不明原因肺炎病例,現(xiàn)已證實該肺炎為一種新型冠狀病毒感染的肺炎,其傳染性較強(qiáng).為了有效地避免交叉感染,需要采取以下防護(hù)措施:①戴口罩;②勤洗手;③少出門;④重隔離;⑤捂口鼻;⑥謹(jǐn)慎吃.某公司為了解員工對防護(hù)措施的了解程度(包括不了解、了解很少、基本了解和很了解),通過網(wǎng)上問卷調(diào)查的方式進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查(每名員工必須且只能選擇一項),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)上面的信息,解答下列問題
(1)本次共調(diào)查了 名員工,條形統(tǒng)計圖中m= ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“很了解”扇形所對應(yīng)的圓心角度數(shù)是_____________;
(3)若該公司共有員工1200名,請你估計不了解防護(hù)措施的人數(shù);
(4)在調(diào)查中,發(fā)現(xiàn)有4名員工對防護(hù)措施很了解,其中有3名男員工、1名女員工.若準(zhǔn)備從他們中隨機(jī)抽取2名,讓其在公司群內(nèi)普及防護(hù)措施,求恰好抽中一男一女的概率.
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【題目】垃圾分類是對垃圾傳統(tǒng)收集處理方式的改變,是對垃圾進(jìn)行有效處理的一種科學(xué)管理方法.為了增強(qiáng)同學(xué)們垃圾分類的意識,某班舉行了專題活動,對200件垃圾進(jìn)行分類整理,得到下列統(tǒng)計圖表,請根據(jù)統(tǒng)計圖表回答問題:(其中A:可回收垃圾;B:廚余垃圾;C:有害垃圾;D:其它垃圾).
類別 | 件數(shù) |
A | 70 |
B | b |
C | c |
D | 48 |
(1)________;________;
(2)補全圖中的條形統(tǒng)計圖;
(3)有害垃圾C在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角為多少?
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【題目】每年夏季全國各地總有未成年人因溺水而喪失生命,令人痛心疾首.今年某校為確保學(xué)生安全,開展了“遠(yuǎn)離溺水·珍愛生命”的防溺水安全知識競賽.現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的競賽成績(百分制)進(jìn)行整理、描述和分析(成績得分用表示,共分成四組:..C.D.),下面給出了部分信息:
七年級10名學(xué)生的競賽成績是:99,80,99,86,99,96,90,100,89,82
八年級10名學(xué)生的競賽成績在組中的數(shù)據(jù)是:94,90,94
八年級抽取的學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計圖:
七、八年級抽取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表:
年級 | 七年級 | 八年級 |
平均數(shù) | 92 | |
中位數(shù) | 93 | 94 |
眾數(shù) | 99 | 100 |
方差 | 52 | 50.4 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)直接寫出上述圖表中的值;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),你認(rèn)為該校七、八年級學(xué)生掌握防溺水安全知識較好?請說明理由(一條理由即可);
(3)該校七、八年級共720人參加了此次競賽活動,估計參加此次競賽活動成績優(yōu)秀()的學(xué)生人數(shù)是多少?
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