【題目】已知,拋物線 y=x2+bx+c 與 y 軸交于點(diǎn) C,與 x 軸交于點(diǎn) A 和點(diǎn)B(其中點(diǎn) A 在 y 軸左側(cè),點(diǎn) B 在 y 軸右側(cè)),對(duì)稱軸直線 x=交 x 軸于點(diǎn) H.
(1)若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣4,6),求拋物線的解析式;
(2)如圖1,∠ACB=90°,點(diǎn)P是拋物線y=x2+bx+c上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且 S△ABP=S△ABC,求點(diǎn) P 的坐標(biāo);
(3)如圖 2,過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BC交拋物線于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣c, 求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2-x-8;(2)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3,﹣2),(,2);(3)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是(7,9).
【解析】
(1)根據(jù)對(duì)稱軸和點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出函數(shù)的解析式;
(2)連接 CH,利用交點(diǎn)式和韋達(dá)定理求出CH2及AB2
, 在 Rt△OHC 中,由勾股定理求出c的值,再分情況討論即可.
(3)分別利用直線 BC和直線AC聯(lián)系二次函數(shù)解析式消去y得到兩個(gè)含k,c的方程,即可解出k,c的值,得出Q點(diǎn)坐標(biāo).
(1)∵拋物線 y=x2+bx+c 的對(duì)稱軸是直線 x=,
∴﹣=﹣b=,
∴b=﹣.
又拋物線 y= x2+bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣4,6),
∴6=×(﹣4)2﹣ ×(﹣4)+c, 解得 c=﹣8.
故該拋物線解析式是 y =x2﹣ x﹣8;
如圖 1,連接 CH,
∵對(duì)稱軸直線 x=交 x 軸于點(diǎn) H,
∴AH=BH,OH= . 又∵∠ACB=90°,
∴CH= AB,
設(shè) A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),
則 x1,x2 是方程x2﹣ x+c=0 的兩根,
∴x1+x2=3,x1x2=2c,
∴AB2=(x2﹣x1)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=9﹣8c,
∴CH2= AB2= ﹣2c.
在 Rt△OHC 中,由勾股定理得:CH2=OH2+OC2,即:c2+2c=0, 解得:c=﹣2 或 c=0(舍去).
∵S△ABP=S△ABC,
∴|yP|=|yC|=2.
①當(dāng) yP=﹣2 時(shí),點(diǎn) P 與點(diǎn) C 關(guān)于直線 x=對(duì)稱,
∴P(3,﹣2).
②當(dāng) yP=2 時(shí),x2﹣ x﹣2=2, 解得:x=.
又∵點(diǎn) P 在 y 軸的右側(cè),
∴x= ,
∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( ,2).綜上所述,符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3,﹣2),(,2).
如圖 2,設(shè)直線 BC 的解析式為:y=kx+c(k≠0),聯(lián)立直線 BC 與拋物線的解析式,得 ,
消去 y,得x2﹣ x+c=kx+c, 解得:xC=0,xB=3+2k,
由(2)知 xA+xB=3,
∴xA=3﹣xB,
∴xA=﹣2k.
把點(diǎn) B 的坐標(biāo)(3+2k,0)代入 y=kx+c,得 c=﹣k(3+2k)=﹣3k﹣2k2.
∵AQ∥BC,
則設(shè) AQ 的解析式為:y=kx+m(k≠0).聯(lián)立直線 AQ 與拋物線的解析式,得
消去 y,得x2﹣ x+c=kx+m,
設(shè)點(diǎn) A、Q 的橫坐標(biāo)分別為 xA、xQ, 則 xA+xQ=3+2k,
∵xA=﹣2k,
∴xQ=3+4k.
又∵yQ=﹣ c,c=﹣3k﹣2k2.
則有:﹣(﹣3k﹣2k2)=(3+4k)2﹣(3+4k)+(﹣3k﹣2k2),解得:k1=0(舍去),k2=1,
∴c=﹣3k﹣2k2=﹣5,
∴點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是(7,9).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)被它的兩條直徑分成了四個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字的扇形區(qū)域,其中標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形圓心角為120°.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán),待轉(zhuǎn)盤(pán)自動(dòng)停止后,指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部,則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字,此時(shí),稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次(若指針指向兩個(gè)扇形的交線,則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù),重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán),直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止)
(1)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次,求轉(zhuǎn)出的數(shù)字是-2的概率;
(2)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次,用樹(shù)狀圖或列表法求這兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊中,,射線,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng),如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,當(dāng)時(shí),以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市射擊隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在相同的條件下各射耙10次,每次射耙的成績(jī)情況如圖所示:
(1)請(qǐng)將下表補(bǔ)充完整:
(2)請(qǐng)從下列三個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析:
①?gòu)钠骄鶖?shù)和方差相結(jié)合看, 的成績(jī)好些;
②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看, 的成績(jī)好些;
③若其他隊(duì)選手最好成績(jī)?cè)?/span>9環(huán)左右,現(xiàn)要選一人參賽,你認(rèn)為選誰(shuí)參加,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)中,函數(shù) y 與自變量 x 的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求該函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(3)不等式 ax2+bx+c+3>0 的解集是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】弦AB,CD是⊙O的兩條平行弦,⊙O的半徑為5,AB=8,CD=6,則AB,CD之間的距離為( )
A. 7 B. 1 C. 4或3 D. 7或1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知正比例函數(shù)y= -2x和反比例函數(shù)的圖象交于A(a,-4),B兩點(diǎn)。過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l與雙曲線交于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第二象限),若以點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為24,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學(xué)課上,老師提出利用尺規(guī)作圖完成下面問(wèn)題:
已知:∠ACB是△ABC的一個(gè)內(nèi)角.
求作:∠APB=∠ACB.
小明的做法如下:
如圖
①作線段AB的垂直平分線m;
②作線段BC的垂直平分線n,與直線m交于點(diǎn)O;
③以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作△ABC的外接圓;
④在弧ACB上取一點(diǎn)P,連結(jié)AP,BP.
所以∠APB=∠ACB.
老師說(shuō):“小明的作法正確.”
請(qǐng)回答:
(1)點(diǎn)O為△ABC外接圓圓心(即OA=OB=OC)的依據(jù)是_____;
(2)∠APB=∠ACB的依據(jù)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“綠水青山,就是金山銀山”.某旅游景區(qū)為了保護(hù)環(huán)境,需購(gòu)買甲,乙兩種型號(hào)的垃圾處理設(shè)備共10臺(tái),已知每臺(tái)甲型設(shè)備日處理能力為12噸,每臺(tái)乙型設(shè)備日處理能力為15噸,購(gòu)回的設(shè)備日處理能力總計(jì)不低于140噸.
(1)請(qǐng)你為該景區(qū)設(shè)計(jì)購(gòu)買甲,乙兩種設(shè)備的方案;
(2)已知每臺(tái)甲型設(shè)備價(jià)格為3萬(wàn)元,每臺(tái)乙型設(shè)備價(jià)格為4.4萬(wàn)元.廠家為了促銷產(chǎn)品,規(guī)定總貨款不低于40萬(wàn)元時(shí),可按9折優(yōu)惠.問(wèn)采用(1)中設(shè)計(jì)的哪種購(gòu)買方案,使購(gòu)買費(fèi)用最少?
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