Question

如圖，已知拋物線y=ax²-

3

2

x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，并與直線y=

1

2

x-2交于B、C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C是直線y=

1

2

x-2與y軸的交點(diǎn)，連接AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）證明：△ABC為直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由直線y=

1

2

x-2交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，則B、C坐標(biāo)可求．進(jìn)而代入拋物線y=ax²-

3

2

x+c，即得a、c的值，從求得拋物線解析式．
（2）求證三角形為直角三角形，我們通�？紤]證明一角為90°或勾股定理．本題中未提及特殊角度，而已知A、B、C坐標(biāo)，即可知AB、AC、BC，則顯然可用勾股定理證明．

解答：（1）解：∵直線y=

1

2

x-2交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-

3

2

x+c過(guò)B、C兩點(diǎn)，
∴

0=16a-6+c c=-2

，
解得 

a= 1 2 c=-2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2．

（2）證明：如圖1，連接AC，

∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2與x負(fù)半軸交于A點(diǎn)，
∴A（-1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=

5

，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2

5

，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，最值問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，難度適中，適合學(xué)生鞏固知識(shí)．