【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,射線AM經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)E,弦AC平分∠MAB,過點(diǎn)CCDAM,垂足為D

(1)請用尺規(guī)作圖將圖形補(bǔ)充完整,不寫作法,保留痕跡,并證明:CD是⊙O的切線;

(2)若AB=8, ,求弦AE的長.

【答案】(1)作圖及證明見解析;(2)4

【解析】(1)以C為圓心,大于C到AM的距離為半徑作弧分別與AM有兩個(gè)交點(diǎn),以這兩個(gè)交點(diǎn)分別為圓心,以大于這兩個(gè)交點(diǎn)長的一半為半徑作弧,兩弧交點(diǎn)一點(diǎn),過這一點(diǎn)及點(diǎn)D即可得到AM的垂線,連接OC,證∠OCD=90°即可說明CD是⊙O的切線;(2)作OFAM,得矩形OCDF,可求出OF的值,再通過勾股定理和垂徑定理即可求出AE的長.

解:(1)作圖正確,痕跡明顯

證明:連接OC,則OAOC,∴∠OAC=∠OCA

AC平分∠MAB,∴∠OAC=∠MAC

∴∠OCA=∠MAC,∴AMOC

CDAM,垂足為D,∴∠CDM=90°

∴∠OCD=∠CDM=90°,∴OCCD,∴CD是⊙O的切線

(2)作OFAM,垂足為F

AFEF,四邊形OCDF是矩形

RtAOF中,∵

AE=2AF=4

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