Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，M是CD中點(diǎn)，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，延長(zhǎng)BM交PA于N點(diǎn)，且PN=AN．
（1）求證：MN=MA；
（2）求證：∠CDA=2∠ACD．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AP∥CD，得出∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，由∠AMD=∠BMD，得出∠MAN=∠MNA，等角對(duì)等邊得出MN=MA；
（2）連接NC，由AP∥CD，且PN=AN．可得MC=MD，由CN為直角△ACP斜邊AP的中線，可得CN=NA，∠NCA=∠NAC，可得∠NCM=2∠ACD，再由△CMN≌△DMA，可得出∠ADM=∠NCM=2∠ACD．

解答：證明：（1）∵AP∥CD，
∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，
∵∠AMD=∠BMD，
∴∠MAN=∠MNA，
∴MN=MA．
（2）如圖，連接NC，

∵AP∥CD，且PN=AN．
∴

CM

PN

=

MD

NA

=

BM

BN

，
∴MC=MD，
∴CN為直角△ACP斜邊AP的中線，
∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，
∵AP∥CD，
∴∠NAC=∠ACD，
∴∠NCM=2∠ACD，
∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD，
∴∠CMD=∠DMA，
在△CMN和△DMA中，

CM=MD ∠CMN=∠DMA MN=MA

，
∴△CMN≌△DMA（SAS），
∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形．