【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,連接AC與⊙O交于點(diǎn) D.取BC的中點(diǎn)E,連接DE,并連接OE交⊙O于點(diǎn)F.連接AFBC于點(diǎn)G,連接BDAG于點(diǎn)H

1)若EF1BE,求∠EOB的度數(shù);

2)求證:DE為⊙O的切線;

3)求證:點(diǎn)F為線段HG的中點(diǎn).

【答案】1)∠EOB60°;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABC=90°,解直角三角形得到∠EOB=60°;
2)連結(jié)OD,根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=BDC=90°,求得DE=EC,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;
3)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OEAC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OEBD,得到,求得∠FBD=FAB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

1)∵AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,

∴∠ABC90°,

在直角三角形OBE中,設(shè)圓O半徑為r,

EF1,BE,則,r2+2=(r+12

解得r1,

OB1OE2,

RtOBE中,cosEOB,

∴∠EOB60°;

2)連結(jié)OD,

AB是⊙O的直徑,

∴∠ADB=∠BDC90°,

E為直角三角形BCD斜邊的中點(diǎn),

DEEC

∴∠CDE=∠C

ODOA,

∴∠OAD=∠ODA,

∴∠ODA+CDE=∠OAD+C90°

∴∠ODE180°90°90°,

DE是⊙O的切線;

3)連接BF,

AB是圓O的直徑,

∴∠AFB=90°,即BFAF,

O、E分別為ABBC的中點(diǎn),

OEAC,

BDAC,

OEBD,

,

∴∠DOF=

∵∠BAF=

∴∠BAF=DOF,

∵∠DOF=DBF

∴∠DBF=BAF,

BC是⊙O的切線,

∴∠EBF+ABF=90°

∵∠BAF+ABF=90°

∴∠EBF=BAF

∴∠EBF=HBF

BFHG,

BF垂直平分HG,

即:點(diǎn)F為線段HG的中點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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若正八邊形作環(huán)狀連接,中間可以圍的正多邊形的邊數(shù)為________,若邊長為1的正n邊形作環(huán)狀連接,中間圍成的是等邊三角形,則這個(gè)環(huán)狀連接的外輪廓長為_________.

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①求a的值;

②記二次函數(shù)圖象在點(diǎn)A,B之間的部分為W(點(diǎn)A和點(diǎn)B),若直線()經(jīng)過(1,-1),且與圖形W有公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求b的取值范圍.

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2)若將A1B1C1繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到A2B2C2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).

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3△A1B1C1△D1E1F1組成的圖形是軸對稱圖形嗎?如果是,請直接寫出對稱軸所在直線的解析式.

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