Question

如圖，在直角坐標系xOy中，正方形OCBA的頂點A，C分別在y軸，x軸上，點B坐標為（6，6），拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A，B兩點，且3a-b=-1．

（1）求a，b，c的值；

（2）如果動點E，F(xiàn)同時分別從點A，點B出發(fā)，分別沿A→B，B→C運動，速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)點E到達終點B時，點E，F(xiàn)隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒，△EBF的面積為S．

①試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

②當(dāng)S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以E，B，R，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出點R的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1），，；（2）s=-（t-3）2+，; （9，3）．

【解析】

試題分析：（1）由于四邊形OABC是正方形，易知點A的坐標，將A、B的坐標分別代入拋物線的解析式中，聯(lián)立3a-b=-1，即可求得待定系數(shù)的值．

（2）①用t分別表示出BE、BF的長，利用直角三角形面積公式求出△EBF的面積，從而得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值；

②當(dāng)S取最大值時，即可確定BE、BF的長，若E、B、R、F為頂點的四邊形是平行四邊形，可有兩種情況：一、EB平行且相等于FR，二、ER平行且相等于FB；只需將E點坐標向上、向下平移BF個單位或?qū)�F點坐標向左、向右平移BE個單位，即可得到R點坐標，然后將它們代入拋物線的解析式中進行驗證，找出符合條件的R點即可．

（1）由已知A（0，6），B（6，6）在拋物線上，

得方程組，解得．

（2）①運動開始t秒時，EB=6-t，BF=t，

S=EB•BF=（6-t）t=-t2+3t，

以為S=-t2+3t=-（t-3）2+，

所以當(dāng)t=3時，S有最大值．

②當(dāng)S取得最大值時，

∵由①知t=3，

∴BF=3，CF=3，EB=6-3=3，

若存在某點R，使得以E，B，R，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，

則FR1=EB且FR1∥EB，

即可得R1為（9，3），R2（3，3）；

或者ER3=BF，ER3∥BF，可得R3（3，9）．

再將所求得的三個點代入y=-x2+x+6，可知只有點（9，3）在拋物線上，

因此拋物線上存在點R（9，3），使得四邊形EBRF為平行四邊形．

考點：二次函數(shù)綜合題．