Question

如圖，B、C、D三點(diǎn)在同一直線上，分別以BC、CD為邊在同側(cè)作兩個(gè)正三角形△ABC和△ECD，P為BD邊中點(diǎn)，M、N分別為AB、ED的中點(diǎn)，連接PM、PN，探求PM與PN的數(shù)量關(guān)系及∠MPN的度數(shù)，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),三角形中位線定理

專題：探究型

分析：通過△ACD≌△BCE的對(duì)應(yīng)邊相等知AD=BE；然后由三角形中位線定理求得PM=PN；由平行線的性質(zhì)、等量代換以及三角形外角定理來求∠MPN的度數(shù)．

解答：解：PM=PN，∠MPN=120°；
理由如下：連接AD、BE．
∵△ABC和△ECD是等邊三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，CD=CE，∠ECD=60°；
∴∠ECD+∠ACE=∠BCA+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
∴在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），∠CAD=∠CBE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；
又∵P為BD邊中點(diǎn)，M、N分別為AB、ED的中點(diǎn)，
∴PM=

1

2

AD，PN=

1

2

BE，
∴PM=PN；
∵M(jìn)P∥AD（中位線的性質(zhì)），
∴∠BPM=∠CDA；
同理，得∠NPD=∠EBC=∠CAD，
∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPD=180°-∠CDA-∠CAD=∠ACD（等量代換），
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=120°，即∠MPN=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及等邊三角形的性質(zhì)．本題中利用三角形中位線定理將所求線段與已知線段聯(lián)系了起來．