Question

【題目】已知:的兩條高交于點，點分別是，的中點，連接．

求證:垂直平分；

若．判斷以為頂點的四邊形的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形MEND是正方形，見解析.

【解析】

（1）連接EM，EN，DM，DN，根據直角三角形斜邊上中線的性質證明ME＝MD，NE＝ND即可解決問題；

（2）結論：四邊形MEND是正方形，連接EM，EN，DM，DN，首先證明△ADF≌△BDC，得到AF＝BC，進而得到DM＝DN＝EM＝EN，然后求出∠NDM＝90°，根據有一個角是直角的菱形是正方形即可證明．

（1）證明：如圖1，連接EM，EN，DM，DN．

∵BD，CE是△ABC的高，

∴BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEB＝∠CEA＝90°，

∵在Rt△AEF中，M是AF的中點，

∴EM＝AF，

同理，DM＝AF，EN＝BC，DN＝BC，

∴EM＝DM，EN＝DN，

∴點M，N在ED的垂直平分線上，

∴MN垂直平分ED；

（2）結論：四邊形MEND是正方形．

證明：如圖2，連接EM，EN，DM，DN．

∵∠EBD＝∠DCE＝45°，∠BDA＝∠CDF＝90°，

∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∠DFC＝∠DCF＝45°，

∴AD＝BD，DF＝DC，

在△ADF和△BDC中，，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴AF＝BC，∠1＝∠2，

∵DM＝AF＝AM，DN＝BC＝BN，

∴DM＝DN，∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴∠3＝∠4，

由（1）知EM＝DM，EN＝DN，

∴DM＝DN＝EM＝EN，

∴四邊形MEND是菱形，

∵∠3＋∠MDF＝∠ADF＝90°，

∴∠4＋∠MDF＝∠NDM＝90°，

∴四邊形MEND是正方形．