【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,M是OA的中點(diǎn),弦CD⊥AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)連接AD,則∠OAD= °;
(2)求證:DE與⊙O相切;
(3)點(diǎn)F在上,∠CDF=45°,DF交AB于點(diǎn)N.若DE=3,求FN的長(zhǎng).
【答案】(1)60;(2)證明見(jiàn)解析;(3).
【解析】
(1)由CD⊥AB和M是OA的中點(diǎn),利用三角函數(shù)可以得到∠DOM=60°,進(jìn)而得到△OAD是等邊三角形,∠OAD=60°.
(2)只需證明DE⊥OD.便可以得到DE與⊙O相切.
(3)利用圓的綜合知識(shí),可以證明,∠CND=90°,∠CFN=60°,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可以得到FN的數(shù)值.
解:(1)如圖1,連接OD,AD
∵AB是⊙O的直徑,CD⊥AB
∴AB垂直平分CD
∵M是OA的中點(diǎn),
∴OM=OA=OD
∴cos∠DOM==,
∴∠DOM=60°
又:OA=OD
∴△OAD是等邊三角形
∴∠OAD=60°
故答案為:60°
(2)∵CD⊥AB,AB是⊙O的直徑,
∴CM=MD.
∵M是OA的中點(diǎn),
∴AM=MO.
又∵∠AMC=∠DMO,
∴△AMC≌△OMD.
∴∠ACM=∠ODM.
∴CA∥OD.
∵DE⊥CA,
∴∠E=90°.
∴∠ODE=180°﹣∠E=90°.
∴DE⊥OD.
∴DE與⊙O相切.
(3)如圖2,連接CF,CN,
∵OA⊥CD于M,
∴M是CD中點(diǎn).
∴NC=ND.
∵∠CDF=45°,
∴∠NCD=∠NDC=45°.
∴∠CND=90°.
∴∠CNF=90°.
由(1)可知∠AOD=60°.
∴∠ACD=∠AOD=30°.
在Rt△CDE中,∠E=90°,∠ECD=30°,DE=3,
∴CD=,
在Rt△CND中,∠CND=90°,∠CDN=45°,CD=6,
∴CN=CD·sin45°=3.
由(1)知∠CAD=2∠OAD=120°,
∴∠CFD=180°﹣∠CAD=60°.
在Rt△CNF中,∠CNF=90°,∠CFN=60°,CN=3,
∴FN=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小飛研究二次函數(shù)y=-(x-m)2-m+1(m為常數(shù))性質(zhì)時(shí)如下結(jié)論:①這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線y=-x+1上;②存在一個(gè)m的值,使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形;③點(diǎn)A(x1,y1)與點(diǎn)B(x2,y2)在函數(shù)圖象上,若x1<x2,x1+x2>2m,則y1<y2;④當(dāng)-1<x<2時(shí),y隨x的增大而增大,則m的取值范圍為m≥2其中錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市對(duì)一大型超市銷(xiāo)售的甲、乙、丙3種大米進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè).共抽查大米200袋,質(zhì)量評(píng)定分為A、B兩個(gè)等級(jí)(A級(jí)優(yōu)于B級(jí)),相應(yīng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖如下:
根據(jù)所給信息,解決下列問(wèn)題:
(1)a= ,b= ;
(2)已知該超市現(xiàn)有乙種大米750袋,根據(jù)檢測(cè)結(jié)果,請(qǐng)你估計(jì)該超市乙種大米中有多少袋B級(jí)大米?
(3)對(duì)于該超市的甲種和丙種大米,你會(huì)選擇購(gòu)買(mǎi)哪一種?運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)簡(jiǎn)述理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年4月22日是第50個(gè)世界地球日,某校在八年級(jí)5個(gè)班中,每班各選拔10名學(xué)生參加“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”并評(píng)出了一、二、三等獎(jiǎng)各若干名,學(xué)校將獲獎(jiǎng)情況繪成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題:
(1)求本次競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“二等獎(jiǎng)”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù);
(3)如果該校八年級(jí)有800人,請(qǐng)你估計(jì)獲獎(jiǎng)的同學(xué)共有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,將△DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△DGH,HG交AB于點(diǎn)E,連接DE交AC于點(diǎn)F,連接FG.下列結(jié)論中正確的有( )
①四邊形AEGF是菱形;②△AED≌△GED;③∠DFG=112.5°;④BC+FG=1.5.
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為了測(cè)量小山頂?shù)蔫F塔AB高度,王華和楊麗在平地上的C點(diǎn)處測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°,向前走了18m后到達(dá)D點(diǎn),測(cè)得A點(diǎn)的仰角為60°,B點(diǎn)的仰角為30°
(1)求證:AB=BD;
(2)求證鐵塔AB的高度.(結(jié)果精確到0.1米,其中≈1.41,≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1.有下列4個(gè)結(jié)論:①abc>0;②4a+2b+c>0;③2c<3b;④a+b>m(am+b)(m是不等于1的實(shí)數(shù)).其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有( 。
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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【題目】若一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)(1)求反比例函數(shù)的解析式.(2)已知點(diǎn)在第三象限,且同時(shí)在兩個(gè)函數(shù)的圖像上,求點(diǎn)的坐標(biāo).(3)利用(2)的結(jié)果,若點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),且以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“低碳生活,綠色出行”是一種環(huán)保,健康的生活方式,小麗從甲地出發(fā)沿一條筆直的公路騎車(chē)前往乙地,她與乙地之間的距離y(km)與出發(fā)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式如圖1中線段AB所示,在小麗出發(fā)的同時(shí),小明從乙地沿同一條公路騎車(chē)勻速前往甲地,兩人之間的距離S(km)與出發(fā)時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系式如圖2中折線段CD-DE-EF所示.
(1)小麗和小明騎車(chē)的速度各是多少?
(2)求E點(diǎn)坐標(biāo),并解釋點(diǎn)的實(shí)際意義.
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