Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且

AF

=

FC

=

CB

，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD=

3

，求直徑AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC、OF，則可得到∠CAB=∠CAF=30°，可證得OC∥AD，可得∠OCD=90°，證得結(jié)論；
（2）在Rt△ACD中，可求得AC=2CD=2

3

，在Rt△ACB中，由勾股定理可求得AB的長．

解答：（1）證明：連接OC，OF，
∵

AF

=

FC

=

CB

，
∴∠COB=

1

3

×180°=60°，
∴∠CAB=∠CAF=∠OCA=

1

2

∠OCB=30°，
∴OC∥AD，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ACD中，∠DAC=30°，
所以AC=2CD=2

3

，
在Rt△ACB中，∠BAC=30°，AC=2

3

，
由勾股定理可求得AB=4．

點評：本題主要考查切線的判定，連接OC、OF得到∠COB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．