Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），設(shè)AP=x，S_△CDP=y．
（1）求y與x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；
（2）連接BP，當(dāng)△ABP是等腰三角形時(shí)，求y的值．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)三角形的面積求出點(diǎn)D到AC的距離，然后表示出PC，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
（2）分AP=AB=3；AP=BP時(shí)，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，此時(shí)AP=

1

2

AC；AB=BP時(shí)，利用∠BAC的余弦列式求出AP，然后分別代入函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵AB=3，BC=4，
∴AC=

AB2+BC2

=

32+42

=5，
設(shè)點(diǎn)D到AC的距離為h，
則S_△ACD=

1

2

×5h=

1

2

×3×4，
解得h=

12

5

，
∵AP=x，
∴PC=5-x，
∴S_△CDP=y=

1

2

（5-x）×

12

5

=-

6

5

x+6（0＜x＜5）；

（2）AP=AB=3時(shí)，x=3，y=-

6

5

×3+6=

12

5

；
AP=BP時(shí)，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，AP=

1

2

AC=

5

2

，
y=-

6

5

×

5

2

+6=3；
AB=BP時(shí)，AP=2ABcos∠BAC=2×3×

3

5

=

12

5

，
y=-

6

5

×

12

5

+6=

78

25

，
綜上所述，△ABP是等腰三角形時(shí)，y的值為

12

5

或3或

78

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）根據(jù)等腰三角形腰長的不同分情況討論．