【題目】如圖1,拋物線x軸,y軸的正半軸分別交于點和點,與x軸負半軸交于點A,動點M從點A出發(fā)沿折線向終點B勻速運動,將線段繞點O順時針旋轉得到線段,連接.

1)求拋物線的函數(shù)表達式;

2)如圖2,當點N在線段上時,求證:

3)當點N在線段上時,直接寫出此時直線與拋物線交點的縱坐標;

4)設的長度為n,直接寫出在點M移動的過程中,的取值范圍.

【答案】1;(2)略;(3)0或4或;(4

【解析】

1)運用待定系數(shù)法,把代入解析式,求出ac,即可得出函數(shù)解析式.

2)易知MON是等邊三角形,當點NAC上時,證AMOCNO即可得到AM=CN.

(3)NBC上時,易得MNOC,30度角的直角三角形的性質,運用勾股定理列方程求解即可.

4)求最值問題,先找出點M、N的運動軌跡,確定其在什么位置時有最值.再利用數(shù)形結合求解.

1)將B(4,0),C(0,4)代入y=a+c:

,

.

(2)由已知可得A-4,0),

AO=CO=4,

MAO=NCO=45°,

由旋轉可知OM=ON,又∵∠NOM=60°,

MON是等邊三角形,∠NMO=MNO =60°,

∴∠AMO=CNO,

AOMCON,

AM=CN;

(3)NBC上時,分兩種情況:

MAC上,如圖所示:此時MNx軸,與y軸交于點D,過點NNEOBOB于點E.可設Na,4-a,

MON為等邊三角形,

ND=a, OD=4-a,ON=2a,

由勾股定理可得+=,

解得-2, -2(不合題意,舍去),

OD=4-a6-,

MN與拋物線圖象交點的縱坐標是6-;

MBC上,如圖所示,

此時MN所在直線與拋物線交于點B、C.

MN與拋物線圖象交點的縱坐標是04.

綜上,直線MN與拋物線圖象交點的縱坐標是046-

(4)作等邊AOD、等邊OCE,

AOM繞點O旋轉60°ODN重合得∠CAO=∠EDO45°,

MAC上時,點N的軌跡是經(jīng)過D且與OD45°的一條線段DE.

的最大值為+48.

同理,當MBC上時,N的軌跡為線段EF.

的最小值為BEF的距離BP.

OEF為等腰直角三角形,∴OH2,

E),F(2, )可得直線解析式y=(2+)x-(4+),

可得G-4,0),∴OG=-4,BG=8-,

BPGOGH可得=,

BP= 此時=8-,

8-≤48.

練習冊系列答案
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