【題目】如圖(1),OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4,在OC邊上取一點(diǎn)D,將將紙片沿AD翻轉(zhuǎn),使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處.
(1)請直接寫出D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖(2),線段AE上有一動點(diǎn)P(不與A,E重合),自點(diǎn)A沿AE方向做勻速運(yùn)動,運(yùn)動的速度為每秒1個單位長度,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒,過點(diǎn)P作ED的平行線交AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作AE平行線交DE于點(diǎn)N.求四邊形PMNE的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),以A,M,E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?
【答案】(1)(0,)(2)S矩形PMNE= -t2+t(3)t=或t=2時(shí),以A,M,E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形
【解析】
(1)先根據(jù)勾股定理求出BE的長,進(jìn)而可得出CE的長,求出E點(diǎn)坐標(biāo),再用勾股定理計(jì)算出OD即可;
(2)先判斷出△APM∽△AED,表示出PM,再求出確定出極值;
(3)分兩種情況(Ⅰ)若以AE為等腰三角形的底,則ME=MA,利用中位線求出M點(diǎn)坐標(biāo),(Ⅱ)若以AE為等腰三角形的腰,則AM=AE=5,利用勾股定理和三角形相似求出即可.
(1)依題意可知,折痕AD是四邊形OAED的對稱軸,
∴在Rt△ABE中,AE=AO=5,AB=4.
BE= .
∴CE=2.
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).
在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
又∵DE=OD.
∴(4﹣OD)2+22=OD2.
解得:OD= .
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,).
(2)∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴,
∵AP=t,ED= ,AE=5,
PM= ×=,
∵PE=5﹣t.
∵四邊形PMNE為矩形.
∴S矩形PMNE=PM×PE=×(5﹣t)=-;
(3)(Ⅰ)若以AE為等腰三角形的底,則ME=MA(如圖1)
在Rt△AED中,ME=MA,
∵PM⊥AE,
∴P為AE的中點(diǎn),
∴t=AP=AE=.
又∵PM∥ED,
∴M為AD的中點(diǎn).
過點(diǎn)M作MF⊥OA,垂足為F,則MF是△OAD的中位線,
∴MF=OD=,OF=OA=,
∴當(dāng)t=時(shí),(0<<5),△AME為等腰三角形.
(Ⅱ)若以AE為等腰三角形的腰,則AM=AE=5(如圖1)
在Rt△AOD中,AD=.
過點(diǎn)M作MF⊥OA,垂足為F.
∵PM∥ED,
∴△APM∽△AED.
∴
∴t=AP=,
∴PM=t=.
∴t=2時(shí),(0<2<5)
綜合(Ⅰ)(Ⅱ)可知,t=或t=2時(shí),以A,M,E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形,
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【題目】如圖,陽光下,小亮的身高如圖中線段AB所示,他在地面上的影子如圖中線段BC所示,線段DE表示旗桿的高,線段FG表示一堵高墻.
(1)請你在圖中畫出旗桿在同一時(shí)刻陽光照射下形成的影子,并用線段表示;
(2)如果小亮的身高AB=1.6m,他的影子BC=2.4m,旗桿的高DE=15m,旗桿與高墻的距離EG=16m,請求出旗桿的影子落在墻上的長度.
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【題目】如圖,在一條河的北岸有兩個目標(biāo)M、N,現(xiàn)在位于它的對岸設(shè)定兩個觀測點(diǎn)A、B.已知AB∥MN,在A點(diǎn)測得∠MAB=60°,在B點(diǎn)測得∠MBA=45°,AB=600米.
(1)求點(diǎn)M到AB的距離;(結(jié)果保留根號)
(2)在B點(diǎn)又測得∠NBA=53°,求MN的長.(結(jié)果精確到1米)
(參考數(shù)據(jù):≈1.732,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.33,cot53°≈0.75)
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(1)在圖(1)中,點(diǎn)P在小正方形的頂點(diǎn)上,作出點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)Q
(2)在圖(2)中,畫出一個以線段AC為對角線、面積為6的矩形ABCD,且點(diǎn)B和點(diǎn)D均在小正方形的頂點(diǎn)上
(3)在圖(3)中,B是AC的中點(diǎn),作線段AB的垂直平分線,要求:①僅用無刻度直尺,且不能用直尺中的直角;②保留必要的作圖痕跡
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(1)求該拋物線的解析式;
(2)若借助橫梁DE(DE∥OA)建一個門,要求門的高度為1.5米,求橫梁DE的長度是多少米?
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(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)當(dāng)x12﹣x22=0時(shí),求m的值.
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(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)求△ABC 的面積;
(3)在拋物線上存在一點(diǎn) P 使△ABP 的面積為 10,請求出點(diǎn) P 的坐標(biāo).
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(1)設(shè)小明每月獲得利潤為w(元),求每月獲得利潤w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
(3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價(jià)×銷售量)
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