Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AB交邊AC于點(diǎn)E，
（1）AE

 

EB（填“＞”、“=”、“＜”）
（2）求AE的長(zhǎng)；
（3）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CPDQ的面積是否發(fā)生變化，并說明理由；
②當(dāng)t為何值時(shí)，△DEQ為等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,三角形的面積,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定,三角形中位線定理

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AE=EB；
（2）設(shè)AE=BE=x，表示出CE，然后利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）①連接CD，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半表示出點(diǎn)D到AC、BC的距離，再根據(jù)S_{四邊形CPDQ}=S_△CDP+S_△CDQ列式整理即可得解；
②利用勾股定理列式求出AB，再求出AD，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AE、DE，再分情況討論求解即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分線，
∴AE=EB；
故答案為：=；

（2）設(shè)AE=BE=x，則CE=AC-AE=8-x，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
所以AE=5；

（3）①如圖2，連接CD，∵點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D到AC、BC的距離分別為

1

2

BC=

1

2

×4=2，

1

2

AC=

1

2

×8=4，
∴S_{四邊形CPDQ}=S_△CDP+S_△CDQ，
=

1

2

×（4-t）×4+

1

2

×2t×2，
=8-2t+2t，
=8，
所以，四邊形CPDQ的面積不發(fā)生變化；

②如圖3，由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
∵點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×4

5

=2

5

，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AE

AB

=

AD

AC

，
即

DE

4

=

AE

4 5

=

2 5

8

，
解得DE=

5

，AE=5，
∴CE=AC-AE=8-5=3，
若DE=EQ，則CQ=CE-EQ=3-

5

，
或CQ=CE+EQ=3+

5

，
此時(shí)，t=

3- 5

2

或t=

3+ 5

2

，
若DE=DQ，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，
∵點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，
∴DF為△ABC的中位線，
∴CF=

1

2

AC=

1

2

×8=4，
∴EF=CF-CE=4-3=1，
∴CQ=4+1=5，
此時(shí)，t=

5

2

，
綜上所述，t=

3- 5

2

或

3+ 5

2

或

5

2

時(shí)，△DEQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，三角形的面積，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，綜合題型題目，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．