Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，1），B（1，﹣2）和C（3，﹣2）．

（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）若m＞n＞2，比較m²﹣4m與n²﹣4n的大��；

（3）將拋物線y=ax²+bx+c平移，平移后圖象的頂點(diǎn)為（h，k），若平移后的拋物線與直線y=x﹣1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)用含h的代數(shù)式表示k．

Answer 1

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與幾何變換．

【專(zhuān)題】計(jì)算題．

【分析】（1）把A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx+c得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式；

（2）先確定拋物線對(duì)稱(chēng)軸方程，然后二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)m＞n＞2，m²﹣4m+1＞n²﹣4n+1，整理得到m²﹣4m＞n²﹣4n；

（3）設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=（x﹣h）²+k，由于直線y=x﹣1與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則說(shuō)明方程x﹣1=（x﹣h）²+k有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，然后把方程整理為一般式后△=0即可得到h與k的關(guān)系式．

【解答】解：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，1），B（1，﹣2）和C（3，﹣2）．

∴，解得

∴拋物線解析式為y=x²﹣4x+1；

（2）∵y=（x﹣2）²﹣3，

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，

∵m＞n＞2，

∴m²﹣4m+1＞n²﹣4n+1，

∴m²﹣4m＞n²﹣4n；

（3）設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為y=（x﹣h）²+k，

∵直線y=x﹣1與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程x﹣1=（x﹣h）²+k有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

整理得x²﹣（2h+1）x+h²+k+1=0，

∴△=（2h+1）2﹣4（h²+k+1）=0，

∴k=h﹣．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題．