Question

如圖，已知：正方形ABCD，由頂點A引兩條射線分別交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求證：BE+DF=EF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長CD到G，使DG=BE，利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=AE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAG=∠BAE，然后求出∠EAF=∠GAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=GF，然后結(jié)合圖形整理即可得證．

解答：證明：如圖，延長CD到G，使DG=BE，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，
∴∠ADG=∠B，
在△ABE和△ADG中，

AB=AD ∠ADG=∠B DG=BE

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，

AG=AE ∠EAF=∠GAF AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記三角形全等的判定方法和正方形的性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．